Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1927 / 1057
↖ ↑ ↗
← N 65.330178°
W 10.634766°		 ← 4 079.16 m → N 65.330178°
W 10.546875°		 →
↑
4 082.03 m
↓
↑
4 082.03 m
↓
N 65.293468°
W 10.634766°		 ← 4 084.85 m →
16 662 849 m²		 N 65.293468°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4705810546875 y=0.2581787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4705810546875 × 212)
    floor (0.4705810546875 × 4096)
    floor (1927.5)     		tx = 1927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2581787109375 × 212)
    floor (0.2581787109375 × 4096)
    floor (1057.5)     		ty = 1057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1927 / 1057 ti = "12/1927/1057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1927/1057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1927 ÷ 212
    1927 ÷ 4096     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1057 ÷ 212
    1057 ÷ 4096     		y = 0.258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258056640625 × 2 - 1) × π
    0.48388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52017496075122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52017496075122))-π/2
    2×atan(4.57302522508193)-π/2
    2×1.35551151615594-π/2
    2.71102303231188-1.57079632675     		φ = 1.14022671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14022671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.330178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1927 KachelY 1057 -0.18561168 1.14022671 -10.634766 65.330178
    Oben rechts KachelX + 1 1928 KachelY 1057 -0.18407769 1.14022671 -10.546875 65.330178
    Unten links KachelX 1927 KachelY + 1 1058 -0.18561168 1.13958599 -10.634766 65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 1928 KachelY + 1 1058 -0.18407769 1.13958599 -10.546875 65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14022671-1.13958599) × R
    0.000640720000000039 × 6371000     		dl = 4082.02712000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14022671-1.13958599) × R
    0.000640720000000039 × 6371000     		dr = 4082.02712000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18407769) × cos(1.14022671) × R
    0.00153399000000001 × 0.417388496928577 × 6371000     		do = 4079.15877095053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18407769) × cos(1.13958599) × R
    0.00153399000000001 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 4084.8481969767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14022671)-sin(1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417388496928577-0.417970651512596)×R²
    abs(-0.18407769--0.18561168)×0.000582154584018946×R²
    0.00153399000000001×0.000582154584018946×6371000²
    0.00153399000000001×0.000582154584018946×40589641000000     		ar = 16662849.495513m²