Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19269 / 14357
↖ ↑ ↗
← N 21.728886°
E 31.695557°		 ← 1 134.84 m → N 21.728886°
E 31.706543°		 →
↑
1 134.87 m
↓
↑
1 134.87 m
↓
N 21.718680°
E 31.695557°		 ← 1 134.92 m →
1 287 934 m²		 N 21.718680°
E 31.706543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588058471679688 y=0.438156127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588058471679688 × 215)
    floor (0.588058471679688 × 32768)
    floor (19269.5)     		tx = 19269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438156127929688 × 215)
    floor (0.438156127929688 × 32768)
    floor (14357.5)     		ty = 14357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19269 / 14357 ti = "15/19269/14357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19269/14357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19269 ÷ 215
    19269 ÷ 32768     		x = 0.588043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14357 ÷ 215
    14357 ÷ 32768     		y = 0.438140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588043212890625 × 2 - 1) × π
    0.17608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55319182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438140869140625 × 2 - 1) × π
    0.12371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388672382119415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55319182} λ = 0.55319182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388672382119415))-π/2
    2×atan(1.47502122883602)-π/2
    2×0.975018464037558-π/2
    1.95003692807512-1.57079632675     		φ = 0.37924060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55319182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.695557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37924060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.728886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19269 KachelY 14357 0.55319182 0.37924060 31.695557 21.728886
    Oben rechts KachelX + 1 19270 KachelY 14357 0.55338357 0.37924060 31.706543 21.728886
    Unten links KachelX 19269 KachelY + 1 14358 0.55319182 0.37906247 31.695557 21.718680
    Unten rechts KachelX + 1 19270 KachelY + 1 14358 0.55338357 0.37906247 31.706543 21.718680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37924060-0.37906247) × R
    0.000178129999999999 × 6371000     		dl = 1134.86622999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37924060-0.37906247) × R
    0.000178129999999999 × 6371000     		dr = 1134.86622999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55319182-0.55338357) × cos(0.37924060) × R
    0.000191750000000046 × 0.928946044778879 × 6371000     		do = 1134.83694943441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55319182-0.55338357) × cos(0.37906247) × R
    0.000191750000000046 × 0.929011976462591 × 6371000     		du = 1134.91749416705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37924060)-sin(0.37906247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928946044778879-0.929011976462591)×R²
    abs(0.55338357-0.55319182)×6.59316837113844e-05×R²
    0.000191750000000046×6.59316837113844e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.59316837113844e-05×40589641000000     		ar = 1287933.83762329m²