Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 19264 / 14016
↖ ↑ ↗
← N 80.327506°
W127.089844°		 ← 51.32 m → N 80.327506°
W127.087097°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.327044°
W127.089844°		 ← 51.32 m →
2 635 m²		 N 80.327044°
W127.087097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146976470947266 y=0.106937408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146976470947266 × 217)
    floor (0.146976470947266 × 131072)
    floor (19264.5)     		tx = 19264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106937408447266 × 217)
    floor (0.106937408447266 × 131072)
    floor (14016.5)     		ty = 14016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19264 / 14016 ti = "17/19264/14016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19264/14016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19264 ÷ 217
    19264 ÷ 131072     		x = 0.14697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14016 ÷ 217
    14016 ÷ 131072     		y = 0.10693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    -0.7060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21813622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10693359375 × 2 - 1) × π
    0.7861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21813622} λ = -2.21813622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46970906842529))-π/2
    2×atan(11.8190078288513)-π/2
    2×1.48638789271066-π/2
    2.97277578542133-1.57079632675     		φ = 1.40197946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21813622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40197946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.327506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19264 KachelY 14016 -2.21813622 1.40197946 -127.089844 80.327506
    Oben rechts KachelX + 1 19265 KachelY 14016 -2.21808828 1.40197946 -127.087097 80.327506
    Unten links KachelX 19264 KachelY + 1 14017 -2.21813622 1.40197140 -127.089844 80.327044
    Unten rechts KachelX + 1 19265 KachelY + 1 14017 -2.21808828 1.40197140 -127.087097 80.327044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40197946-1.40197140) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40197946-1.40197140) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21813622--2.21808828) × cos(1.40197946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168016152863802 × 6371000     		do = 51.3164578203462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21813622--2.21808828) × cos(1.40197140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168024098279337 × 6371000     		du = 51.3188845547657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40197946)-sin(1.40197140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168016152863802-0.168024098279337)×R²
    abs(-2.21808828--2.21813622)×7.94541553528205e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.94541553528205e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.94541553528205e-06×40589641000000     		ar = 2635.17575793992m²