Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19257 / 14387
↖ ↑ ↗
← N 21.422390°
E 31.563721°		 ← 1 137.24 m → N 21.422390°
E 31.574707°		 →
↑
1 137.29 m
↓
↑
1 137.29 m
↓
N 21.412162°
E 31.563721°		 ← 1 137.32 m →
1 293 414 m²		 N 21.412162°
E 31.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587692260742188 y=0.439071655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587692260742188 × 215)
    floor (0.587692260742188 × 32768)
    floor (19257.5)     		tx = 19257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439071655273438 × 215)
    floor (0.439071655273438 × 32768)
    floor (14387.5)     		ty = 14387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19257 / 14387 ti = "15/19257/14387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19257/14387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19257 ÷ 215
    19257 ÷ 32768     		x = 0.587677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14387 ÷ 215
    14387 ÷ 32768     		y = 0.439056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587677001953125 × 2 - 1) × π
    0.17535400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55089085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    0.12188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.382919954165009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55089085} λ = 0.55089085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382919954165009))-π/2
    2×atan(1.46656063329944)-π/2
    2×0.972343782138496-π/2
    1.94468756427699-1.57079632675     		φ = 0.37389124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55089085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.563721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37389124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.422390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19257 KachelY 14387 0.55089085 0.37389124 31.563721 21.422390
    Oben rechts KachelX + 1 19258 KachelY 14387 0.55108260 0.37389124 31.574707 21.422390
    Unten links KachelX 19257 KachelY + 1 14388 0.55089085 0.37371273 31.563721 21.412162
    Unten rechts KachelX + 1 19258 KachelY + 1 14388 0.55108260 0.37371273 31.574707 21.412162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37389124-0.37371273) × R
    0.000178510000000021 × 6371000     		dl = 1137.28721000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37389124-0.37371273) × R
    0.000178510000000021 × 6371000     		dr = 1137.28721000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55089085-0.55108260) × cos(0.37389124) × R
    0.000191749999999935 × 0.930913158199329 × 6371000     		do = 1137.24005239737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55089085-0.55108260) × cos(0.37371273) × R
    0.000191749999999935 × 0.930978342465356 × 6371000     		du = 1137.31968405524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37389124)-sin(0.37371273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930913158199329-0.930978342465356)×R²
    abs(0.55108260-0.55089085)×6.51842660274182e-05×R²
    0.000191749999999935×6.51842660274182e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.51842660274182e-05×40589641000000     		ar = 1293413.8517587m²