Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19256 / 14390
↖ ↑ ↗
← N 21.391705°
E 31.552734°		 ← 1 137.48 m → N 21.391705°
E 31.563721°		 →
↑
1 137.48 m
↓
↑
1 137.48 m
↓
N 21.381475°
E 31.552734°		 ← 1 137.56 m →
1 293 903 m²		 N 21.381475°
E 31.563721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587661743164062 y=0.439163208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587661743164062 × 215)
    floor (0.587661743164062 × 32768)
    floor (19256.5)     		tx = 19256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439163208007812 × 215)
    floor (0.439163208007812 × 32768)
    floor (14390.5)     		ty = 14390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19256 / 14390 ti = "15/19256/14390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19256/14390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19256 ÷ 215
    19256 ÷ 32768     		x = 0.587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14390 ÷ 215
    14390 ÷ 32768     		y = 0.43914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587646484375 × 2 - 1) × π
    0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    0.1217041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382344711369568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55069910} λ = 0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382344711369568))-π/2
    2×atan(1.46571724746013)-π/2
    2×0.972076003477879-π/2
    1.94415200695576-1.57079632675     		φ = 0.37335568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37335568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.391705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19256 KachelY 14390 0.55069910 0.37335568 31.552734 21.391705
    Oben rechts KachelX + 1 19257 KachelY 14390 0.55089085 0.37335568 31.563721 21.391705
    Unten links KachelX 19256 KachelY + 1 14391 0.55069910 0.37317714 31.552734 21.381475
    Unten rechts KachelX + 1 19257 KachelY + 1 14391 0.55089085 0.37317714 31.563721 21.381475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37335568-0.37317714) × R
    0.000178540000000005 × 6371000     		dl = 1137.47834000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37335568-0.37317714) × R
    0.000178540000000005 × 6371000     		dr = 1137.47834000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55069910-0.55089085) × cos(0.37335568) × R
    0.000191750000000046 × 0.93110863293843 × 6371000     		do = 1137.4788520117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55069910-0.55089085) × cos(0.37317714) × R
    0.000191750000000046 × 0.931173739131351 × 6371000     		du = 1137.55838829239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37335568)-sin(0.37317714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93110863293843-0.931173739131351)×R²
    abs(0.55089085-0.55069910)×6.51061929207719e-05×R²
    0.000191750000000046×6.51061929207719e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.51061929207719e-05×40589641000000     		ar = 1293902.79520684m²