Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1925 / 1081
↖ ↑ ↗
← N 64.434892°
W 10.810547°		 ← 4 217.40 m → N 64.434892°
W 10.722656°		 →
↑
4 220.34 m
↓
↑
4 220.34 m
↓
N 64.396938°
W 10.810547°		 ← 4 223.24 m →
17 811 191 m²		 N 64.396938°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4700927734375 y=0.2640380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4700927734375 × 212)
    floor (0.4700927734375 × 4096)
    floor (1925.5)     		tx = 1925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2640380859375 × 212)
    floor (0.2640380859375 × 4096)
    floor (1081.5)     		ty = 1081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1925 / 1081 ti = "12/1925/1081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1925/1081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1925 ÷ 212
    1925 ÷ 4096     		x = 0.469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1081 ÷ 212
    1081 ÷ 4096     		y = 0.263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263916015625 × 2 - 1) × π
    0.47216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48335942184302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18867964} λ = -0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48335942184302))-π/2
    2×atan(4.40772825514314)-π/2
    2×1.34769867304738-π/2
    2.69539734609475-1.57079632675     		φ = 1.12460102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12460102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.434892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1925 KachelY 1081 -0.18867964 1.12460102 -10.810547 64.434892
    Oben rechts KachelX + 1 1926 KachelY 1081 -0.18714566 1.12460102 -10.722656 64.434892
    Unten links KachelX 1925 KachelY + 1 1082 -0.18867964 1.12393859 -10.810547 64.396938
    Unten rechts KachelX + 1 1926 KachelY + 1 1082 -0.18714566 1.12393859 -10.722656 64.396938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12460102-1.12393859) × R
    0.000662429999999992 × 6371000     		dl = 4220.34152999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12460102-1.12393859) × R
    0.000662429999999992 × 6371000     		dr = 4220.34152999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18867964--0.18714566) × cos(1.12460102) × R
    0.00153398000000002 × 0.431536469195384 × 6371000     		do = 4217.40012222712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18867964--0.18714566) × cos(1.12393859) × R
    0.00153398000000002 × 0.432133949586091 × 6371000     		du = 4223.23929006732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12460102)-sin(1.12393859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431536469195384-0.432133949586091)×R²
    abs(-0.18714566--0.18867964)×0.00059748039070745×R²
    0.00153398000000002×0.00059748039070745×6371000²
    0.00153398000000002×0.00059748039070745×40589641000000     		ar = 17811191.1770415m²