Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19249 / 14729
↖ ↑ ↗
← N 17.884659°
E 31.475830°		 ← 1 162.61 m → N 17.884659°
E 31.486817°		 →
↑
1 162.64 m
↓
↑
1 162.64 m
↓
N 17.874203°
E 31.475830°		 ← 1 162.67 m →
1 351 736 m²		 N 17.874203°
E 31.486817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587448120117188 y=0.449508666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587448120117188 × 215)
    floor (0.587448120117188 × 32768)
    floor (19249.5)     		tx = 19249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449508666992188 × 215)
    floor (0.449508666992188 × 32768)
    floor (14729.5)     		ty = 14729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19249 / 14729 ti = "15/19249/14729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19249/14729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19249 ÷ 215
    19249 ÷ 32768     		x = 0.587432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14729 ÷ 215
    14729 ÷ 32768     		y = 0.449493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587432861328125 × 2 - 1) × π
    0.17486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54935687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    0.10101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.317342275484772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54935687} λ = 0.54935687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317342275484772))-π/2
    2×atan(1.37347259748088)-π/2
    2×0.941471257533157-π/2
    1.88294251506631-1.57079632675     		φ = 0.31214619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54935687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.475830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31214619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.884659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19249 KachelY 14729 0.54935687 0.31214619 31.475830 17.884659
    Oben rechts KachelX + 1 19250 KachelY 14729 0.54954862 0.31214619 31.486817 17.884659
    Unten links KachelX 19249 KachelY + 1 14730 0.54935687 0.31196370 31.475830 17.874203
    Unten rechts KachelX + 1 19250 KachelY + 1 14730 0.54954862 0.31196370 31.486817 17.874203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31214619-0.31196370) × R
    0.00018248999999998 × 6371000     		dl = 1162.64378999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31214619-0.31196370) × R
    0.00018248999999998 × 6371000     		dr = 1162.64378999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54935687-0.54954862) × cos(0.31214619) × R
    0.000191750000000046 × 0.951676663307388 × 6371000     		do = 1162.60556520562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54935687-0.54954862) × cos(0.31196370) × R
    0.000191750000000046 × 0.951732690471754 × 6371000     		du = 1162.67401018867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31214619)-sin(0.31196370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951676663307388-0.951732690471754)×R²
    abs(0.54954862-0.54935687)×5.60271643658128e-05×R²
    0.000191750000000046×5.60271643658128e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.60271643658128e-05×40589641000000     		ar = 1351735.93292416m²