Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19246 / 6414
↖ ↑ ↗
← N 83.273202°
W127.139282°		 ← 35.77 m → N 83.273202°
W127.136536°		 →
↑
35.74 m
↓
↑
35.74 m
↓
N 83.272881°
W127.139282°		 ← 35.77 m →
1 278 m²		 N 83.272881°
W127.136536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146839141845703 y=0.0489387512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146839141845703 × 217)
    floor (0.146839141845703 × 131072)
    floor (19246.5)     		tx = 19246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0489387512207031 × 217)
    floor (0.0489387512207031 × 131072)
    floor (6414.5)     		ty = 6414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19246 / 6414 ti = "17/19246/6414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19246/6414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19246 ÷ 217
    19246 ÷ 131072     		x = 0.146835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6414 ÷ 217
    6414 ÷ 131072     		y = 0.0489349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146835327148438 × 2 - 1) × π
    -0.706329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21899908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0489349365234375 × 2 - 1) × π
    0.902130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.83412537933696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21899908} λ = -2.21899908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83412537933696))-π/2
    2×atan(17.0155116722936)-π/2
    2×1.51209394401108-π/2
    3.02418788802216-1.57079632675     		φ = 1.45339156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21899908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.139282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45339156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.273202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19246 KachelY 6414 -2.21899908 1.45339156 -127.139282 83.273202
    Oben rechts KachelX + 1 19247 KachelY 6414 -2.21895115 1.45339156 -127.136536 83.273202
    Unten links KachelX 19246 KachelY + 1 6415 -2.21899908 1.45338595 -127.139282 83.272881
    Unten rechts KachelX + 1 19247 KachelY + 1 6415 -2.21895115 1.45338595 -127.136536 83.272881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45339156-1.45338595) × R
    5.61000000010026e-06 × 6371000     		dl = 35.7413100006387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45339156-1.45338595) × R
    5.61000000010026e-06 × 6371000     		dr = 35.7413100006387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21899908--2.21895115) × cos(1.45339156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.117135237098417 × 6371000     		do = 35.7686537849257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21899908--2.21895115) × cos(1.45338595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.117140808477183 × 6371000     		du = 35.7703550724557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45339156)-sin(1.45338595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117135237098417-0.117140808477183)×R²
    abs(-2.21895115--2.21899908)×5.57137876648628e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.57137876648628e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.57137876648628e-06×40589641000000     		ar = 1278.44894636898m²