Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19246 / 14898
↖ ↑ ↗
← N 16.109153°
E 31.442871°		 ← 1 173.61 m → N 16.109153°
E 31.453857°		 →
↑
1 173.67 m
↓
↑
1 173.67 m
↓
N 16.098598°
E 31.442871°		 ← 1 173.67 m →
1 377 463 m²		 N 16.098598°
E 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587356567382812 y=0.454666137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587356567382812 × 215)
    floor (0.587356567382812 × 32768)
    floor (19246.5)     		tx = 19246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454666137695312 × 215)
    floor (0.454666137695312 × 32768)
    floor (14898.5)     		ty = 14898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19246 / 14898 ti = "15/19246/14898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19246/14898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19246 ÷ 215
    19246 ÷ 32768     		x = 0.58734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14898 ÷ 215
    14898 ÷ 32768     		y = 0.45465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58734130859375 × 2 - 1) × π
    0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45465087890625 × 2 - 1) × π
    0.0906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.284936931341614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54878163} λ = 0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.284936931341614))-π/2
    2×atan(1.329678164459)-π/2
    2×0.925977045259881-π/2
    1.85195409051976-1.57079632675     		φ = 0.28115776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28115776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.109153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19246 KachelY 14898 0.54878163 0.28115776 31.442871 16.109153
    Oben rechts KachelX + 1 19247 KachelY 14898 0.54897337 0.28115776 31.453857 16.109153
    Unten links KachelX 19246 KachelY + 1 14899 0.54878163 0.28097354 31.442871 16.098598
    Unten rechts KachelX + 1 19247 KachelY + 1 14899 0.54897337 0.28097354 31.453857 16.098598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28115776-0.28097354) × R
    0.000184219999999957 × 6371000     		dl = 1173.66561999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28115776-0.28097354) × R
    0.000184219999999957 × 6371000     		dr = 1173.66561999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54878163-0.54897337) × cos(0.28115776) × R
    0.000191739999999996 × 0.960734840763336 × 6371000     		do = 1173.61018190226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54878163-0.54897337) × cos(0.28097354) × R
    0.000191739999999996 × 0.960785939640578 × 6371000     		du = 1173.67260304082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28115776)-sin(0.28097354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960734840763336-0.960785939640578)×R²
    abs(0.54897337-0.54878163)×5.1098877242084e-05×R²
    0.000191739999999996×5.1098877242084e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.1098877242084e-05×40589641000000     		ar = 1377462.55644826m²