Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19246 / 14702
↖ ↑ ↗
← N 18.166730°
E 31.442871°		 ← 1 160.68 m → N 18.166730°
E 31.453857°		 →
↑
1 160.80 m
↓
↑
1 160.80 m
↓
N 18.156291°
E 31.442871°		 ← 1 160.75 m →
1 347 358 m²		 N 18.156291°
E 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587356567382812 y=0.448684692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587356567382812 × 215)
    floor (0.587356567382812 × 32768)
    floor (19246.5)     		tx = 19246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448684692382812 × 215)
    floor (0.448684692382812 × 32768)
    floor (14702.5)     		ty = 14702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19246 / 14702 ti = "15/19246/14702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19246/14702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19246 ÷ 215
    19246 ÷ 32768     		x = 0.58734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14702 ÷ 215
    14702 ÷ 32768     		y = 0.44866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58734130859375 × 2 - 1) × π
    0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44866943359375 × 2 - 1) × π
    0.1026611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322519460643738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54878163} λ = 0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322519460643738))-π/2
    2×atan(1.3806017579971)-π/2
    2×0.943932793383345-π/2
    1.88786558676669-1.57079632675     		φ = 0.31706926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31706926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.166730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19246 KachelY 14702 0.54878163 0.31706926 31.442871 18.166730
    Oben rechts KachelX + 1 19247 KachelY 14702 0.54897337 0.31706926 31.453857 18.166730
    Unten links KachelX 19246 KachelY + 1 14703 0.54878163 0.31688706 31.442871 18.156291
    Unten rechts KachelX + 1 19247 KachelY + 1 14703 0.54897337 0.31688706 31.453857 18.156291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31706926-0.31688706) × R
    0.000182200000000021 × 6371000     		dl = 1160.79620000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31706926-0.31688706) × R
    0.000182200000000021 × 6371000     		dr = 1160.79620000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54878163-0.54897337) × cos(0.31706926) × R
    0.000191739999999996 × 0.950153252963502 × 6371000     		do = 1160.68397307162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54878163-0.54897337) × cos(0.31688706) × R
    0.000191739999999996 × 0.950210044100559 × 6371000     		du = 1160.75334773554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31706926)-sin(0.31688706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950153252963502-0.950210044100559)×R²
    abs(0.54897337-0.54878163)×5.67911370565888e-05×R²
    0.000191739999999996×5.67911370565888e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.67911370565888e-05×40589641000000     		ar = 1347357.813993m²