Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19246 / 14432
↖ ↑ ↗
← N 20.961440°
E 31.442871°		 ← 1 140.73 m → N 20.961440°
E 31.453857°		 →
↑
1 140.85 m
↓
↑
1 140.85 m
↓
N 20.951180°
E 31.442871°		 ← 1 140.81 m →
1 301 456 m²		 N 20.951180°
E 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587356567382812 y=0.440444946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587356567382812 × 215)
    floor (0.587356567382812 × 32768)
    floor (19246.5)     		tx = 19246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440444946289062 × 215)
    floor (0.440444946289062 × 32768)
    floor (14432.5)     		ty = 14432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19246 / 14432 ti = "15/19246/14432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19246/14432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19246 ÷ 215
    19246 ÷ 32768     		x = 0.58734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14432 ÷ 215
    14432 ÷ 32768     		y = 0.4404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58734130859375 × 2 - 1) × π
    0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54878163} λ = 0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374291312233398))-π/2
    2×atan(1.4539606452921)-π/2
    2×0.968321232004433-π/2
    1.93664246400887-1.57079632675     		φ = 0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19246 KachelY 14432 0.54878163 0.36584614 31.442871 20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 19247 KachelY 14432 0.54897337 0.36584614 31.453857 20.961440
    Unten links KachelX 19246 KachelY + 1 14433 0.54878163 0.36566707 31.442871 20.951180
    Unten rechts KachelX + 1 19247 KachelY + 1 14433 0.54897337 0.36566707 31.453857 20.951180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36584614-0.36566707) × R
    0.000179070000000003 × 6371000     		dl = 1140.85497000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36584614-0.36566707) × R
    0.000179070000000003 × 6371000     		dr = 1140.85497000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54878163-0.54897337) × cos(0.36584614) × R
    0.000191739999999996 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 1140.73337819604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54878163-0.54897337) × cos(0.36566707) × R
    0.000191739999999996 × 0.933885443182164 × 6371000     		du = 1140.81161455337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36584614)-sin(0.36566707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.933885443182164)×R²
    abs(0.54897337-0.54878163)×6.40454517673028e-05×R²
    0.000191739999999996×6.40454517673028e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.40454517673028e-05×40589641000000     		ar = 1301455.97560633m²