Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19242 / 14891
↖ ↑ ↗
← N 16.183024°
E 31.398926°		 ← 1 173.17 m → N 16.183024°
E 31.409912°		 →
↑
1 173.22 m
↓
↑
1 173.22 m
↓
N 16.172473°
E 31.398926°		 ← 1 173.23 m →
1 376 425 m²		 N 16.172473°
E 31.409912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587234497070312 y=0.454452514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587234497070312 × 215)
    floor (0.587234497070312 × 32768)
    floor (19242.5)     		tx = 19242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454452514648438 × 215)
    floor (0.454452514648438 × 32768)
    floor (14891.5)     		ty = 14891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19242 / 14891 ti = "15/19242/14891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19242/14891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19242 ÷ 215
    19242 ÷ 32768     		x = 0.58721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14891 ÷ 215
    14891 ÷ 32768     		y = 0.454437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58721923828125 × 2 - 1) × π
    0.1744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54801464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454437255859375 × 2 - 1) × π
    0.09112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.286279164530975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54801464} λ = 0.54801464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.286279164530975))-π/2
    2×atan(1.33146410092598)-π/2
    2×0.926621690126256-π/2
    1.85324338025251-1.57079632675     		φ = 0.28244705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54801464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.398926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28244705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.183024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19242 KachelY 14891 0.54801464 0.28244705 31.398926 16.183024
    Oben rechts KachelX + 1 19243 KachelY 14891 0.54820638 0.28244705 31.409912 16.183024
    Unten links KachelX 19242 KachelY + 1 14892 0.54801464 0.28226290 31.398926 16.172473
    Unten rechts KachelX + 1 19243 KachelY + 1 14892 0.54820638 0.28226290 31.409912 16.172473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28244705-0.28226290) × R
    0.000184149999999994 × 6371000     		dl = 1173.21964999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28244705-0.28226290) × R
    0.000184149999999994 × 6371000     		dr = 1173.21964999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54801464-0.54820638) × cos(0.28244705) × R
    0.000191739999999996 × 0.96037630547151 × 6371000     		do = 1173.17220395954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54801464-0.54820638) × cos(0.28226290) × R
    0.000191739999999996 × 0.960427613002228 × 6371000     		du = 1173.23487998408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28244705)-sin(0.28226290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96037630547151-0.960427613002228)×R²
    abs(0.54820638-0.54801464)×5.13075307182476e-05×R²
    0.000191739999999996×5.13075307182476e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.13075307182476e-05×40589641000000     		ar = 1376425.45278052m²