Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19240 / 14824
↖ ↑ ↗
← N 16.888660°
E 31.376953°		 ← 1 168.95 m → N 16.888660°
E 31.387940°		 →
↑
1 168.95 m
↓
↑
1 168.95 m
↓
N 16.878147°
E 31.376953°		 ← 1 169.02 m →
1 366 485 m²		 N 16.878147°
E 31.387940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587173461914062 y=0.452407836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587173461914062 × 215)
    floor (0.587173461914062 × 32768)
    floor (19240.5)     		tx = 19240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452407836914062 × 215)
    floor (0.452407836914062 × 32768)
    floor (14824.5)     		ty = 14824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19240 / 14824 ti = "15/19240/14824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19240/14824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19240 ÷ 215
    19240 ÷ 32768     		x = 0.587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14824 ÷ 215
    14824 ÷ 32768     		y = 0.452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    0.09521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29912625362915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54763114} λ = 0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29912625362915))-π/2
    2×atan(1.34867988845488)-π/2
    2×0.932779523162845-π/2
    1.86555904632569-1.57079632675     		φ = 0.29476272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29476272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.888660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19240 KachelY 14824 0.54763114 0.29476272 31.376953 16.888660
    Oben rechts KachelX + 1 19241 KachelY 14824 0.54782289 0.29476272 31.387940 16.888660
    Unten links KachelX 19240 KachelY + 1 14825 0.54763114 0.29457924 31.376953 16.878147
    Unten rechts KachelX + 1 19241 KachelY + 1 14825 0.54782289 0.29457924 31.387940 16.878147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29476272-0.29457924) × R
    0.000183479999999958 × 6371000     		dl = 1168.95107999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29476272-0.29457924) × R
    0.000183479999999958 × 6371000     		dr = 1168.95107999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54763114-0.54782289) × cos(0.29476272) × R
    0.000191749999999935 × 0.956871102137163 × 6371000     		do = 1168.95129556112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54763114-0.54782289) × cos(0.29457924) × R
    0.000191749999999935 × 0.956924389321107 × 6371000     		du = 1169.01639327655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29476272)-sin(0.29457924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956871102137163-0.956924389321107)×R²
    abs(0.54782289-0.54763114)×5.32871839435956e-05×R²
    0.000191749999999935×5.32871839435956e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.32871839435956e-05×40589641000000     		ar = 1366484.93126907m²