Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1924 / 394
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E158.203125°		 ← 5 542.07 m → N 73.528399°
E158.378906°		 →
↑
5 550.22 m
↓
↑
5 550.22 m
↓
N 73.478485°
E158.203125°		 ← 5 558.39 m →
30 805 022 m²		 N 73.478485°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939697265625 y=0.192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939697265625 × 211)
    floor (0.939697265625 × 2048)
    floor (1924.5)     		tx = 1924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192626953125 × 211)
    floor (0.192626953125 × 2048)
    floor (394.5)     		ty = 394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1924 / 394 ti = "11/1924/394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1924/394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1924 ÷ 211
    1924 ÷ 2048     		x = 0.939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 394 ÷ 211
    394 ÷ 2048     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939453125 × 2 - 1) × π
    0.87890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76116542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76116542} λ = 2.76116542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76116542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1924 KachelY 394 2.76116542 1.28331266 158.203125 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 1925 KachelY 394 2.76423338 1.28331266 158.378906 73.528399
    Unten links KachelX 1924 KachelY + 1 395 2.76116542 1.28244149 158.203125 73.478485
    Unten rechts KachelX + 1 1925 KachelY + 1 395 2.76423338 1.28244149 158.378906 73.478485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28244149) × R
    0.000871169999999921 × 6371000     		dl = 5550.2240699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28244149) × R
    0.000871169999999921 × 6371000     		dr = 5550.2240699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76116542-2.76423338) × cos(1.28331266) × R
    0.00306795999999965 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 5542.06643093064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76116542-2.76423338) × cos(1.28244149) × R
    0.00306795999999965 × 0.284375371276839 × 6371000     		du = 5558.39337434149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28244149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.284375371276839)×R²
    abs(2.76423338-2.76116542)×0.00083530982454566×R²
    0.00306795999999965×0.00083530982454566×6371000²
    0.00306795999999965×0.00083530982454566×40589641000000     		ar = 30805021.5478916m²