Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19232 / 6432
↖ ↑ ↗
← N 83.267409°
W127.177734°		 ← 35.81 m → N 83.267409°
W127.174988°		 →
↑
35.81 m
↓
↑
35.81 m
↓
N 83.267087°
W127.177734°		 ← 35.81 m →
1 282 m²		 N 83.267087°
W127.174988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146732330322266 y=0.0490760803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146732330322266 × 217)
    floor (0.146732330322266 × 131072)
    floor (19232.5)     		tx = 19232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0490760803222656 × 217)
    floor (0.0490760803222656 × 131072)
    floor (6432.5)     		ty = 6432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19232 / 6432 ti = "17/19232/6432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19232/6432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19232 ÷ 217
    19232 ÷ 131072     		x = 0.146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6432 ÷ 217
    6432 ÷ 131072     		y = 0.049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.70654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21967020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.049072265625 × 2 - 1) × π
    0.90185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.8332625151438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21967020} λ = -2.21967020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.8332625151438))-π/2
    2×atan(17.0008359290405)-π/2
    2×1.51204338645186-π/2
    3.02408677290373-1.57079632675     		φ = 1.45329045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21967020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.177734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45329045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.267409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19232 KachelY 6432 -2.21967020 1.45329045 -127.177734 83.267409
    Oben rechts KachelX + 1 19233 KachelY 6432 -2.21962226 1.45329045 -127.174988 83.267409
    Unten links KachelX 19232 KachelY + 1 6433 -2.21967020 1.45328483 -127.177734 83.267087
    Unten rechts KachelX + 1 19233 KachelY + 1 6433 -2.21962226 1.45328483 -127.174988 83.267087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45329045-1.45328483) × R
    5.61999999981744e-06 × 6371000     		dl = 35.8050199988369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45329045-1.45328483) × R
    5.61999999981744e-06 × 6371000     		dr = 35.8050199988369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21967020--2.21962226) × cos(1.45329045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.117235650455546 × 6371000     		do = 35.8067852947429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21967020--2.21962226) × cos(1.45328483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.117241231698874 × 6371000     		du = 35.8084899501167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45329045)-sin(1.45328483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117235650455546-0.117241231698874)×R²
    abs(-2.21962226--2.21967020)×5.58124332854237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.58124332854237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.58124332854237e-06×40589641000000     		ar = 1282.09318123924m²