Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1922 / 1070
↖ ↑ ↗
← N 64.848937°
W 11.074219°		 ← 4 153.58 m → N 64.848937°
W 10.986328°		 →
↑
4 156.44 m
↓
↑
4 156.44 m
↓
N 64.811557°
W 11.074219°		 ← 4 159.35 m →
17 276 105 m²		 N 64.811557°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4693603515625 y=0.2613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4693603515625 × 212)
    floor (0.4693603515625 × 4096)
    floor (1922.5)     		tx = 1922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2613525390625 × 212)
    floor (0.2613525390625 × 4096)
    floor (1070.5)     		ty = 1070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1922 / 1070 ti = "12/1922/1070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1922/1070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1922 ÷ 212
    1922 ÷ 4096     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1070 ÷ 212
    1070 ÷ 4096     		y = 0.26123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50023321050928))-π/2
    2×atan(4.48273436921118)-π/2
    2×1.35131189922269-π/2
    2.70262379844538-1.57079632675     		φ = 1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1922 KachelY 1070 -0.19328158 1.13182747 -11.074219 64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 1923 KachelY 1070 -0.19174760 1.13182747 -10.986328 64.848937
    Unten links KachelX 1922 KachelY + 1 1071 -0.19328158 1.13117507 -11.074219 64.811557
    Unten rechts KachelX + 1 1923 KachelY + 1 1071 -0.19174760 1.13117507 -10.986328 64.811557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13182747-1.13117507) × R
    0.000652399999999886 × 6371000     		dl = 4156.44039999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13182747-1.13117507) × R
    0.000652399999999886 × 6371000     		dr = 4156.44039999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19174760) × cos(1.13182747) × R
    0.00153398000000002 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 4153.58096658729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19174760) × cos(1.13117507) × R
    0.00153398000000002 × 0.425596765979697 × 6371000     		du = 4159.35148241103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13182747)-sin(1.13117507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.425596765979697)×R²
    abs(-0.19174760--0.19328158)×0.000590455719600758×R²
    0.00153398000000002×0.000590455719600758×6371000²
    0.00153398000000002×0.000590455719600758×40589641000000     		ar = 17276104.7495013m²