Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19215 / 14559
↖ ↑ ↗
← N 19.652934°
E 31.102295°		 ← 1 150.48 m → N 19.652934°
E 31.113281°		 →
↑
1 150.48 m
↓
↑
1 150.48 m
↓
N 19.642588°
E 31.102295°		 ← 1 150.55 m →
1 323 636 m²		 N 19.642588°
E 31.113281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586410522460938 y=0.444320678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586410522460938 × 215)
    floor (0.586410522460938 × 32768)
    floor (19215.5)     		tx = 19215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444320678710938 × 215)
    floor (0.444320678710938 × 32768)
    floor (14559.5)     		ty = 14559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19215 / 14559 ti = "15/19215/14559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19215/14559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19215 ÷ 215
    19215 ÷ 32768     		x = 0.586395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14559 ÷ 215
    14559 ÷ 32768     		y = 0.444305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586395263671875 × 2 - 1) × π
    0.17279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.54283745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    0.11138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.34993936722641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54283745} λ = 0.54283745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34993936722641))-π/2
    2×atan(1.4189815092003)-π/2
    2×0.956902368219248-π/2
    1.9138047364385-1.57079632675     		φ = 0.34300841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54283745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.102295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34300841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.652934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19215 KachelY 14559 0.54283745 0.34300841 31.102295 19.652934
    Oben rechts KachelX + 1 19216 KachelY 14559 0.54302920 0.34300841 31.113281 19.652934
    Unten links KachelX 19215 KachelY + 1 14560 0.54283745 0.34282783 31.102295 19.642588
    Unten rechts KachelX + 1 19216 KachelY + 1 14560 0.54302920 0.34282783 31.113281 19.642588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34300841-0.34282783) × R
    0.000180579999999986 × 6371000     		dl = 1150.47517999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34300841-0.34282783) × R
    0.000180579999999986 × 6371000     		dr = 1150.47517999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54283745-0.54302920) × cos(0.34300841) × R
    0.000191749999999935 × 0.941747134927009 × 6371000     		do = 1150.47526360149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54283745-0.54302920) × cos(0.34282783) × R
    0.000191749999999935 × 0.941807852557362 × 6371000     		du = 1150.5494386419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34300841)-sin(0.34282783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941747134927009-0.941807852557362)×R²
    abs(0.54302920-0.54283745)×6.07176303526469e-05×R²
    0.000191749999999935×6.07176303526469e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.07176303526469e-05×40589641000000     		ar = 1323635.90784572m²