Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19215 / 11666
↖ ↑ ↗
← N 81.353859°
W127.224426°		 ← 45.92 m → N 81.353859°
W127.221680°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.353445°
W127.224426°		 ← 45.92 m →
2 109 m²		 N 81.353445°
W127.221680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146602630615234 y=0.0890083312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146602630615234 × 217)
    floor (0.146602630615234 × 131072)
    floor (19215.5)     		tx = 19215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890083312988281 × 217)
    floor (0.0890083312988281 × 131072)
    floor (11666.5)     		ty = 11666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19215 / 11666 ti = "17/19215/11666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19215/11666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19215 ÷ 217
    19215 ÷ 131072     		x = 0.146598815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11666 ÷ 217
    11666 ÷ 131072     		y = 0.0890045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146598815917969 × 2 - 1) × π
    -0.706802368164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.22048513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0890045166015625 × 2 - 1) × π
    0.821990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58236078253243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22048513} λ = -2.22048513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58236078253243))-π/2
    2×atan(13.2283305376272)-π/2
    2×1.49534450636453-π/2
    2.99068901272907-1.57079632675     		φ = 1.41989269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22048513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.224426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41989269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.353859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19215 KachelY 11666 -2.22048513 1.41989269 -127.224426 81.353859
    Oben rechts KachelX + 1 19216 KachelY 11666 -2.22043719 1.41989269 -127.221680 81.353859
    Unten links KachelX 19215 KachelY + 1 11667 -2.22048513 1.41988548 -127.224426 81.353445
    Unten rechts KachelX + 1 19216 KachelY + 1 11667 -2.22043719 1.41988548 -127.221680 81.353445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41989269-1.41988548) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41989269-1.41988548) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22048513--2.22043719) × cos(1.41989269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150331561267198 × 6371000     		do = 45.9151283453592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22048513--2.22043719) × cos(1.41988548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150338689326229 × 6371000     		du = 45.9173054380636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41989269)-sin(1.41988548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150331561267198-0.150338689326229)×R²
    abs(-2.22043719--2.22048513)×7.12805903135827e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12805903135827e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12805903135827e-06×40589641000000     		ar = 2109.15729030358m²