Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1920 / 440
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
E157.500000°		 ← 6 339.65 m → N 71.074057°
E157.675781°		 →
↑
6 348.89 m
↓
↑
6 348.89 m
↓
N 71.016960°
E157.500000°		 ← 6 358.08 m →
40 308 264 m²		 N 71.016960°
E157.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937744140625 y=0.215087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937744140625 × 211)
    floor (0.937744140625 × 2048)
    floor (1920.5)     		tx = 1920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215087890625 × 211)
    floor (0.215087890625 × 2048)
    floor (440.5)     		ty = 440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1920 / 440 ti = "11/1920/440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1920/440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1920 ÷ 211
    1920 ÷ 2048     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 440 ÷ 211
    440 ÷ 2048     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1920 KachelY 440 2.74889357 1.24047630 157.500000 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 1921 KachelY 440 2.75196153 1.24047630 157.675781 71.074057
    Unten links KachelX 1920 KachelY + 1 441 2.74889357 1.23947977 157.500000 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 1921 KachelY + 1 441 2.75196153 1.23947977 157.675781 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.23947977) × R
    0.000996530000000106 × 6371000     		dl = 6348.89263000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.23947977) × R
    0.000996530000000106 × 6371000     		dr = 6348.89263000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.75196153) × cos(1.24047630) × R
    0.00306796000000009 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 6339.65372856329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.75196153) × cos(1.23947977) × R
    0.00306796000000009 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 6358.07571015266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.325288265675305)×R²
    abs(2.75196153-2.74889357)×0.000942494980350761×R²
    0.00306796000000009×0.000942494980350761×6371000²
    0.00306796000000009×0.000942494980350761×40589641000000     		ar = 40308263.761358m²