Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1920 / 1085
↖ ↑ ↗
← N 64.282760°
W 11.250000°		 ← 4 240.79 m → N 64.282760°
W 11.162109°		 →
↑
4 243.72 m
↓
↑
4 243.72 m
↓
N 64.244595°
W 11.250000°		 ← 4 246.66 m →
18 009 199 m²		 N 64.244595°
W 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4688720703125 y=0.2650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4688720703125 × 212)
    floor (0.4688720703125 × 4096)
    floor (1920.5)     		tx = 1920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2650146484375 × 212)
    floor (0.2650146484375 × 4096)
    floor (1085.5)     		ty = 1085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1920 / 1085 ti = "12/1920/1085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1920/1085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1920 ÷ 212
    1920 ÷ 4096     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1085 ÷ 212
    1085 ÷ 4096     		y = 0.264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264892578125 × 2 - 1) × π
    0.47021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47722349869165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47722349869165))-π/2
    2×atan(4.3807655783482)-π/2
    2×1.34637106640601-π/2
    2.69274213281201-1.57079632675     		φ = 1.12194581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12194581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.282760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1920 KachelY 1085 -0.19634954 1.12194581 -11.250000 64.282760
    Oben rechts KachelX + 1 1921 KachelY 1085 -0.19481556 1.12194581 -11.162109 64.282760
    Unten links KachelX 1920 KachelY + 1 1086 -0.19634954 1.12127971 -11.250000 64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 1921 KachelY + 1 1086 -0.19481556 1.12127971 -11.162109 64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12194581-1.12127971) × R
    0.000666099999999892 × 6371000     		dl = 4243.72309999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12194581-1.12127971) × R
    0.000666099999999892 × 6371000     		dr = 4243.72309999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19481556) × cos(1.12194581) × R
    0.00153397999999999 × 0.433930198155449 × 6371000     		do = 4240.79400322992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19481556) × cos(1.12127971) × R
    0.00153397999999999 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 4246.65803119061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12194581)-sin(1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433930198155449-0.434530222304944)×R²
    abs(-0.19481556--0.19634954)×0.000600024149495115×R²
    0.00153397999999999×0.000600024149495115×6371000²
    0.00153397999999999×0.000600024149495115×40589641000000     		ar = 18009198.795171m²