Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19196 / 11916
↖ ↑ ↗
← N 81.250020°
W127.276611°		 ← 46.46 m → N 81.250020°
W127.273865°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
N 81.249602°
W127.276611°		 ← 46.46 m →
2 158 m²		 N 81.249602°
W127.273865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146457672119141 y=0.0909156799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146457672119141 × 217)
    floor (0.146457672119141 × 131072)
    floor (19196.5)     		tx = 19196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0909156799316406 × 217)
    floor (0.0909156799316406 × 131072)
    floor (11916.5)     		ty = 11916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19196 / 11916 ti = "17/19196/11916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19196/11916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19196 ÷ 217
    19196 ÷ 131072     		x = 0.146453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11916 ÷ 217
    11916 ÷ 131072     		y = 0.090911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.70709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22139593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090911865234375 × 2 - 1) × π
    0.81817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57037655762741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22139593} λ = -2.22139593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57037655762741))-π/2
    2×atan(13.070745403241)-π/2
    2×1.49443834570188-π/2
    2.98887669140377-1.57079632675     		φ = 1.41808036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22139593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.276611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41808036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.250020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19196 KachelY 11916 -2.22139593 1.41808036 -127.276611 81.250020
    Oben rechts KachelX + 1 19197 KachelY 11916 -2.22134799 1.41808036 -127.273865 81.250020
    Unten links KachelX 19196 KachelY + 1 11917 -2.22139593 1.41807307 -127.276611 81.249602
    Unten rechts KachelX + 1 19197 KachelY + 1 11917 -2.22134799 1.41807307 -127.273865 81.249602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41808036-1.41807307) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dl = 46.4445900006636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41808036-1.41807307) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dr = 46.4445900006636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22139593--2.22134799) × cos(1.41808036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152123047424446 × 6371000     		do = 46.4622943306362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22139593--2.22134799) × cos(1.41807307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152130252576196 × 6371000     		du = 46.464494969441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41808036)-sin(1.41807307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152123047424446-0.152130252576196)×R²
    abs(-2.22134799--2.22139593)×7.20515174923442e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.20515174923442e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.20515174923442e-06×40589641000000     		ar = 2157.97331460882m²