Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1919 / 1671
↖ ↑ ↗
← N 72.302431°
W 95.668945°		 ← 1 485.46 m → N 72.302431°
W 95.625000°		 →
↑
1 485.97 m
↓
↑
1 485.97 m
↓
N 72.289067°
W 95.668945°		 ← 1 486.54 m →
2 208 156 m²		 N 72.289067°
W 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23431396484375 y=0.20404052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23431396484375 × 213)
    floor (0.23431396484375 × 8192)
    floor (1919.5)     		tx = 1919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20404052734375 × 213)
    floor (0.20404052734375 × 8192)
    floor (1671.5)     		ty = 1671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1919 / 1671 ti = "13/1919/1671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1919/1671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1919 ÷ 213
    1919 ÷ 8192     		x = 0.2342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1671 ÷ 213
    1671 ÷ 8192     		y = 0.2039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.531494140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.66973809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2039794921875 × 2 - 1) × π
    0.592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85995170525818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66973809} λ = -1.66973809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85995170525818))-π/2
    2×atan(6.42342654621141)-π/2
    2×1.41635590362648-π/2
    2.83271180725295-1.57079632675     		φ = 1.26191548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66973809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26191548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.302431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1919 KachelY 1671 -1.66973809 1.26191548 -95.668945 72.302431
    Oben rechts KachelX + 1 1920 KachelY 1671 -1.66897110 1.26191548 -95.625000 72.302431
    Unten links KachelX 1919 KachelY + 1 1672 -1.66973809 1.26168224 -95.668945 72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 1920 KachelY + 1 1672 -1.66897110 1.26168224 -95.625000 72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26191548-1.26168224) × R
    0.000233240000000023 × 6371000     		dl = 1485.97204000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26191548-1.26168224) × R
    0.000233240000000023 × 6371000     		dr = 1485.97204000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66973809--1.66897110) × cos(1.26191548) × R
    0.000766990000000023 × 0.303992638455321 × 6371000     		do = 1485.45798802137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66973809--1.66897110) × cos(1.26168224) × R
    0.000766990000000023 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 1486.54373507708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26191548)-sin(1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303992638455321-0.304214831957139)×R²
    abs(-1.66897110--1.66973809)×0.000222193501818679×R²
    0.000766990000000023×0.000222193501818679×6371000²
    0.000766990000000023×0.000222193501818679×40589641000000     		ar = 2208155.74168982m²