Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19188 / 6909
↖ ↑ ↗
← N 83.112059°
W127.298584°		 ← 36.62 m → N 83.112059°
W127.295838°		 →
↑
36.63 m
↓
↑
36.63 m
↓
N 83.111730°
W127.298584°		 ← 36.62 m →
1 342 m²		 N 83.111730°
W127.295838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146396636962891 y=0.0527153015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146396636962891 × 217)
    floor (0.146396636962891 × 131072)
    floor (19188.5)     		tx = 19188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0527153015136719 × 217)
    floor (0.0527153015136719 × 131072)
    floor (6909.5)     		ty = 6909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19188 / 6909 ti = "17/19188/6909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19188/6909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19188 ÷ 217
    19188 ÷ 131072     		x = 0.146392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6909 ÷ 217
    6909 ÷ 131072     		y = 0.0527114868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.70721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22177942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0527114868164062 × 2 - 1) × π
    0.894577026367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.81039661402503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22177942} λ = -2.22177942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.81039661402503))-π/2
    2×atan(16.616507251872)-π/2
    2×1.51068770433664-π/2
    3.02137540867328-1.57079632675     		φ = 1.45057908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22177942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.298584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45057908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.112059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19188 KachelY 6909 -2.22177942 1.45057908 -127.298584 83.112059
    Oben rechts KachelX + 1 19189 KachelY 6909 -2.22173149 1.45057908 -127.295838 83.112059
    Unten links KachelX 19188 KachelY + 1 6910 -2.22177942 1.45057333 -127.298584 83.111730
    Unten rechts KachelX + 1 19189 KachelY + 1 6910 -2.22173149 1.45057333 -127.295838 83.111730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45057908-1.45057333) × R
    5.74999999991554e-06 × 6371000     		dl = 36.6332499994619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45057908-1.45057333) × R
    5.74999999991554e-06 × 6371000     		dr = 36.6332499994619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22177942--2.22173149) × cos(1.45057908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.119927888956329 × 6371000     		do = 36.6214236253416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22177942--2.22173149) × cos(1.45057333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.119933597454327 × 6371000     		du = 36.6231667838785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45057908)-sin(1.45057333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119927888956329-0.119933597454327)×R²
    abs(-2.22173149--2.22177942)×5.70849799798323e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.70849799798323e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.70849799798323e-06×40589641000000     		ar = 1341.59369565039m²