Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19184 / 11933
↖ ↑ ↗
← N 81.242914°
W127.309570°		 ← 46.50 m → N 81.242914°
W127.306823°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
N 81.242496°
W127.309570°		 ← 46.50 m →
2 163 m²		 N 81.242496°
W127.306823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146366119384766 y=0.0910453796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146366119384766 × 217)
    floor (0.146366119384766 × 131072)
    floor (19184.5)     		tx = 19184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0910453796386719 × 217)
    floor (0.0910453796386719 × 131072)
    floor (11933.5)     		ty = 11933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19184 / 11933 ti = "17/19184/11933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19184/11933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19184 ÷ 217
    19184 ÷ 131072     		x = 0.1463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11933 ÷ 217
    11933 ÷ 131072     		y = 0.0910415649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.707275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22197117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0910415649414062 × 2 - 1) × π
    0.817916870117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.56956163033387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22197117} λ = -2.22197117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56956163033387))-π/2
    2×atan(13.0600980350697)-π/2
    2×1.49437633612301-π/2
    2.98875267224601-1.57079632675     		φ = 1.41795635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22197117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.309570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41795635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.242914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19184 KachelY 11933 -2.22197117 1.41795635 -127.309570 81.242914
    Oben rechts KachelX + 1 19185 KachelY 11933 -2.22192323 1.41795635 -127.306823 81.242914
    Unten links KachelX 19184 KachelY + 1 11934 -2.22197117 1.41794905 -127.309570 81.242496
    Unten rechts KachelX + 1 19185 KachelY + 1 11934 -2.22192323 1.41794905 -127.306823 81.242496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41795635-1.41794905) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41795635-1.41794905) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22197117--2.22192323) × cos(1.41795635) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152245612971801 × 6371000     		do = 46.4997290040661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22197117--2.22192323) × cos(1.41794905) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152252827869383 × 6371000     		du = 46.5019326194991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41795635)-sin(1.41794905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152245612971801-0.152252827869383)×R²
    abs(-2.22192323--2.22197117)×7.21489758206961e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.21489758206961e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.21489758206961e-06×40589641000000     		ar = 2162.67458956522m²