Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19182 / 15389
↖ ↑ ↗
← N 10.865676°
E 30.739746°		 ← 1 199.74 m → N 10.865676°
E 30.750733°		 →
↑
1 199.72 m
↓
↑
1 199.72 m
↓
N 10.854887°
E 30.739746°		 ← 1 199.78 m →
1 439 379 m²		 N 10.854887°
E 30.750733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585403442382812 y=0.469650268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585403442382812 × 215)
    floor (0.585403442382812 × 32768)
    floor (19182.5)     		tx = 19182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469650268554688 × 215)
    floor (0.469650268554688 × 32768)
    floor (15389.5)     		ty = 15389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19182 / 15389 ti = "15/19182/15389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19182/15389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19182 ÷ 215
    19182 ÷ 32768     		x = 0.58538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15389 ÷ 215
    15389 ÷ 32768     		y = 0.469635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58538818359375 × 2 - 1) × π
    0.1707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53650978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469635009765625 × 2 - 1) × π
    0.06072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.190788860487823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53650978} λ = 0.53650978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190788860487823))-π/2
    2×atan(1.21020390324226)-π/2
    2×0.880219072709378-π/2
    1.76043814541876-1.57079632675     		φ = 0.18964182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53650978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.739746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18964182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.865676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19182 KachelY 15389 0.53650978 0.18964182 30.739746 10.865676
    Oben rechts KachelX + 1 19183 KachelY 15389 0.53670153 0.18964182 30.750733 10.865676
    Unten links KachelX 19182 KachelY + 1 15390 0.53650978 0.18945351 30.739746 10.854887
    Unten rechts KachelX + 1 19183 KachelY + 1 15390 0.53670153 0.18945351 30.750733 10.854887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18964182-0.18945351) × R
    0.000188309999999997 × 6371000     		dl = 1199.72300999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18964182-0.18945351) × R
    0.000188309999999997 × 6371000     		dr = 1199.72300999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53650978-0.53670153) × cos(0.18964182) × R
    0.000191749999999935 × 0.982071817602736 × 6371000     		do = 1199.73747870194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53650978-0.53670153) × cos(0.18945351) × R
    0.000191749999999935 × 0.982107297971222 × 6371000     		du = 1199.78082291268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18964182)-sin(0.18945351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982071817602736-0.982107297971222)×R²
    abs(0.53670153-0.53650978)×3.54803684862182e-05×R²
    0.000191749999999935×3.54803684862182e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.54803684862182e-05×40589641000000     		ar = 1439378.66393515m²