Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19180 / 15388
↖ ↑ ↗
← N 10.876465°
E 30.717774°		 ← 1 199.63 m → N 10.876465°
E 30.728760°		 →
↑
1 199.72 m
↓
↑
1 199.72 m
↓
N 10.865676°
E 30.717774°		 ← 1 199.67 m →
1 439 252 m²		 N 10.865676°
E 30.728760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585342407226562 y=0.469619750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585342407226562 × 215)
    floor (0.585342407226562 × 32768)
    floor (19180.5)     		tx = 19180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469619750976562 × 215)
    floor (0.469619750976562 × 32768)
    floor (15388.5)     		ty = 15388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19180 / 15388 ti = "15/19180/15388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19180/15388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19180 ÷ 215
    19180 ÷ 32768     		x = 0.5853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15388 ÷ 215
    15388 ÷ 32768     		y = 0.4696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5853271484375 × 2 - 1) × π
    0.170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53612629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    0.060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.190980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53612629} λ = 0.53612629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190980608086304))-π/2
    2×atan(1.21043597918366)-π/2
    2×0.880313225963494-π/2
    1.76062645192699-1.57079632675     		φ = 0.18983013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53612629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.717774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18983013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.876465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19180 KachelY 15388 0.53612629 0.18983013 30.717774 10.876465
    Oben rechts KachelX + 1 19181 KachelY 15388 0.53631803 0.18983013 30.728760 10.876465
    Unten links KachelX 19180 KachelY + 1 15389 0.53612629 0.18964182 30.717774 10.865676
    Unten rechts KachelX + 1 19181 KachelY + 1 15389 0.53631803 0.18964182 30.728760 10.865676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18983013-0.18964182) × R
    0.000188310000000025 × 6371000     		dl = 1199.72301000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18983013-0.18964182) × R
    0.000188310000000025 × 6371000     		dr = 1199.72301000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53612629-0.53631803) × cos(0.18983013) × R
    0.000191739999999996 × 0.982036302409338 × 6371000     		do = 1199.63152641526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53612629-0.53631803) × cos(0.18964182) × R
    0.000191739999999996 × 0.982071817602736 × 6371000     		du = 1199.67491090682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18983013)-sin(0.18964182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982036302409338-0.982071817602736)×R²
    abs(0.53631803-0.53612629)×3.55151933971731e-05×R²
    0.000191739999999996×3.55151933971731e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.55151933971731e-05×40589641000000     		ar = 1439251.57470152m²