Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1918 / 1278
↖ ↑ ↗
← N 55.875311°
W 11.425781°		 ← 5 482.60 m → N 55.875311°
W 11.337891°		 →
↑
5 486.07 m
↓
↑
5 486.07 m
↓
N 55.825973°
W 11.425781°		 ← 5 489.57 m →
30 097 045 m²		 N 55.825973°
W 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4683837890625 y=0.3121337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4683837890625 × 212)
    floor (0.4683837890625 × 4096)
    floor (1918.5)     		tx = 1918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3121337890625 × 212)
    floor (0.3121337890625 × 4096)
    floor (1278.5)     		ty = 1278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1918 / 1278 ti = "12/1918/1278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1918/1278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1918 ÷ 212
    1918 ÷ 4096     		x = 0.46826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1278 ÷ 212
    1278 ÷ 4096     		y = 0.31201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31201171875 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19941750} λ = -0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18116520663818))-π/2
    2×atan(3.25816843141486)-π/2
    2×1.27300223571707-π/2
    2.54600447143413-1.57079632675     		φ = 0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1918 KachelY 1278 -0.19941750 0.97520814 -11.425781 55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 1919 KachelY 1278 -0.19788352 0.97520814 -11.337891 55.875311
    Unten links KachelX 1918 KachelY + 1 1279 -0.19941750 0.97434704 -11.425781 55.825973
    Unten rechts KachelX + 1 1919 KachelY + 1 1279 -0.19788352 0.97434704 -11.337891 55.825973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97520814-0.97434704) × R
    0.000861099999999948 × 6371000     		dl = 5486.06809999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97520814-0.97434704) × R
    0.000861099999999948 × 6371000     		dr = 5486.06809999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19941750--0.19788352) × cos(0.97520814) × R
    0.00153397999999999 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 5482.60406835734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19941750--0.19788352) × cos(0.97434704) × R
    0.00153397999999999 × 0.561708390106942 × 6371000     		du = 5489.56855838851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97520814)-sin(0.97434704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.561708390106942)×R²
    abs(-0.19788352--0.19941750)×0.000712626582893616×R²
    0.00153397999999999×0.000712626582893616×6371000²
    0.00153397999999999×0.000712626582893616×40589641000000     		ar = 30097044.9773753m²