Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19179 / 15402
↖ ↑ ↗
← N 10.725381°
E 30.706787°		 ← 1 200.30 m → N 10.725381°
E 30.717774°		 →
↑
1 200.30 m
↓
↑
1 200.30 m
↓
N 10.714587°
E 30.706787°		 ← 1 200.34 m →
1 440 739 m²		 N 10.714587°
E 30.717774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585311889648438 y=0.470046997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585311889648438 × 215)
    floor (0.585311889648438 × 32768)
    floor (19179.5)     		tx = 19179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470046997070312 × 215)
    floor (0.470046997070312 × 32768)
    floor (15402.5)     		ty = 15402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19179 / 15402 ti = "15/19179/15402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19179/15402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19179 ÷ 215
    19179 ÷ 32768     		x = 0.585296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15402 ÷ 215
    15402 ÷ 32768     		y = 0.47003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585296630859375 × 2 - 1) × π
    0.17059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53593454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47003173828125 × 2 - 1) × π
    0.0599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.188296141707581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53593454} λ = 0.53593454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188296141707581))-π/2
    2×atan(1.20719096201243)-π/2
    2×0.878994771876316-π/2
    1.75798954375263-1.57079632675     		φ = 0.18719322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53593454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.706787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18719322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.725381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19179 KachelY 15402 0.53593454 0.18719322 30.706787 10.725381
    Oben rechts KachelX + 1 19180 KachelY 15402 0.53612629 0.18719322 30.717774 10.725381
    Unten links KachelX 19179 KachelY + 1 15403 0.53593454 0.18700482 30.706787 10.714587
    Unten rechts KachelX + 1 19180 KachelY + 1 15403 0.53612629 0.18700482 30.717774 10.714587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18719322-0.18700482) × R
    0.000188400000000005 × 6371000     		dl = 1200.29640000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18719322-0.18700482) × R
    0.000188400000000005 × 6371000     		dr = 1200.29640000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53593454-0.53612629) × cos(0.18719322) × R
    0.000191750000000046 × 0.982530451671508 × 6371000     		do = 1200.29776408243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53593454-0.53612629) × cos(0.18700482) × R
    0.000191750000000046 × 0.98256549582916 × 6371000     		du = 1200.3405754009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18719322)-sin(0.18700482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982530451671508-0.98256549582916)×R²
    abs(0.53612629-0.53593454)×3.50441576519867e-05×R²
    0.000191750000000046×3.50441576519867e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.50441576519867e-05×40589641000000     		ar = 1440738.78255355m²