Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19174 / 14882
↖ ↑ ↗
← N 16.277960°
E 30.651855°		 ← 1 172.67 m → N 16.277960°
E 30.662842°		 →
↑
1 172.65 m
↓
↑
1 172.65 m
↓
N 16.267414°
E 30.651855°		 ← 1 172.73 m →
1 375 161 m²		 N 16.267414°
E 30.662842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585159301757812 y=0.454177856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585159301757812 × 215)
    floor (0.585159301757812 × 32768)
    floor (19174.5)     		tx = 19174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454177856445312 × 215)
    floor (0.454177856445312 × 32768)
    floor (14882.5)     		ty = 14882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19174 / 14882 ti = "15/19174/14882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19174/14882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19174 ÷ 215
    19174 ÷ 32768     		x = 0.58514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14882 ÷ 215
    14882 ÷ 32768     		y = 0.45416259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58514404296875 × 2 - 1) × π
    0.1702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53497580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45416259765625 × 2 - 1) × π
    0.0916748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.288004892917297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53497580} λ = 0.53497580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288004892917297))-π/2
    2×atan(1.33376383010353)-π/2
    2×0.927450164819674-π/2
    1.85490032963935-1.57079632675     		φ = 0.28410400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53497580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.651855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28410400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.277960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19174 KachelY 14882 0.53497580 0.28410400 30.651855 16.277960
    Oben rechts KachelX + 1 19175 KachelY 14882 0.53516755 0.28410400 30.662842 16.277960
    Unten links KachelX 19174 KachelY + 1 14883 0.53497580 0.28391994 30.651855 16.267414
    Unten rechts KachelX + 1 19175 KachelY + 1 14883 0.53516755 0.28391994 30.662842 16.267414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28410400-0.28391994) × R
    0.000184060000000041 × 6371000     		dl = 1172.64626000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28410400-0.28391994) × R
    0.000184060000000041 × 6371000     		dr = 1172.64626000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53497580-0.53516755) × cos(0.28410400) × R
    0.000191750000000046 × 0.959913184484216 × 6371000     		do = 1172.66762275869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53497580-0.53516755) × cos(0.28391994) × R
    0.000191750000000046 × 0.959964759778398 × 6371000     		du = 1172.73062916239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28410400)-sin(0.28391994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959913184484216-0.959964759778398)×R²
    abs(0.53516755-0.53497580)×5.15752941828707e-05×R²
    0.000191750000000046×5.15752941828707e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.15752941828707e-05×40589641000000     		ar = 1375161.24804553m²