Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19172 / 15398
↖ ↑ ↗
← N 10.768556°
E 30.629883°		 ← 1 200.13 m → N 10.768556°
E 30.640869°		 →
↑
1 200.11 m
↓
↑
1 200.11 m
↓
N 10.757763°
E 30.629883°		 ← 1 200.17 m →
1 440 303 m²		 N 10.757763°
E 30.640869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585098266601562 y=0.469924926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585098266601562 × 215)
    floor (0.585098266601562 × 32768)
    floor (19172.5)     		tx = 19172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469924926757812 × 215)
    floor (0.469924926757812 × 32768)
    floor (15398.5)     		ty = 15398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19172 / 15398 ti = "15/19172/15398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19172/15398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19172 ÷ 215
    19172 ÷ 32768     		x = 0.5850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15398 ÷ 215
    15398 ÷ 32768     		y = 0.46990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5850830078125 × 2 - 1) × π
    0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46990966796875 × 2 - 1) × π
    0.0601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.189063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53459230} λ = 0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189063132101501))-π/2
    2×atan(1.2081172210544)-π/2
    2×0.879371540659638-π/2
    1.75874308131928-1.57079632675     		φ = 0.18794675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18794675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.768556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19172 KachelY 15398 0.53459230 0.18794675 30.629883 10.768556
    Oben rechts KachelX + 1 19173 KachelY 15398 0.53478405 0.18794675 30.640869 10.768556
    Unten links KachelX 19172 KachelY + 1 15399 0.53459230 0.18775838 30.629883 10.757763
    Unten rechts KachelX + 1 19173 KachelY + 1 15399 0.53478405 0.18775838 30.640869 10.757763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18794675-0.18775838) × R
    0.000188369999999993 × 6371000     		dl = 1200.10526999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18794675-0.18775838) × R
    0.000188369999999993 × 6371000     		dr = 1200.10526999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53459230-0.53478405) × cos(0.18794675) × R
    0.000191749999999935 × 0.982389939387454 × 6371000     		do = 1200.12610876043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53459230-0.53478405) × cos(0.18775838) × R
    0.000191749999999935 × 0.982425117422905 × 6371000     		du = 1200.16908362927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18794675)-sin(0.18775838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982389939387454-0.982425117422905)×R²
    abs(0.53478405-0.53459230)×3.51780354505005e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51780354505005e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51780354505005e-05×40589641000000     		ar = 1440303.45922993m²