Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19171 / 11811
↖ ↑ ↗
← N 81.293782°
W127.345276°		 ← 46.23 m → N 81.293782°
W127.342529°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.293366°
W127.345276°		 ← 46.23 m →
2 138 m²		 N 81.293366°
W127.342529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146266937255859 y=0.0901145935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146266937255859 × 217)
    floor (0.146266937255859 × 131072)
    floor (19171.5)     		tx = 19171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901145935058594 × 217)
    floor (0.0901145935058594 × 131072)
    floor (11811.5)     		ty = 11811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19171 / 11811 ti = "17/19171/11811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19171/11811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19171 ÷ 217
    19171 ÷ 131072     		x = 0.146263122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11811 ÷ 217
    11811 ÷ 131072     		y = 0.0901107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146263122558594 × 2 - 1) × π
    -0.707473754882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.22259435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0901107788085938 × 2 - 1) × π
    0.819778442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.57540993208752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22259435} λ = -2.22259435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57540993208752))-π/2
    2×atan(13.136701210217)-π/2
    2×1.49482024107102-π/2
    2.98964048214204-1.57079632675     		φ = 1.41884416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22259435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.345276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41884416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.293782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19171 KachelY 11811 -2.22259435 1.41884416 -127.345276 81.293782
    Oben rechts KachelX + 1 19172 KachelY 11811 -2.22254641 1.41884416 -127.342529 81.293782
    Unten links KachelX 19171 KachelY + 1 11812 -2.22259435 1.41883690 -127.345276 81.293366
    Unten rechts KachelX + 1 19172 KachelY + 1 11812 -2.22254641 1.41883690 -127.342529 81.293366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41884416-1.41883690) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41884416-1.41883690) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22259435--2.22254641) × cos(1.41884416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151368092562764 × 6371000     		do = 46.2317116833403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22259435--2.22254641) × cos(1.41883690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151375268905177 × 6371000     		du = 46.2339035230322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41884416)-sin(1.41883690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151368092562764-0.151375268905177)×R²
    abs(-2.22254641--2.22259435)×7.17634241295673e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17634241295673e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17634241295673e-06×40589641000000     		ar = 2138.42731702248m²