Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1917 / 1069
↖ ↑ ↗
← N 64.886265°
W 11.513672°		 ← 4 147.82 m → N 64.886265°
W 11.425781°		 →
↑
4 150.71 m
↓
↑
4 150.71 m
↓
N 64.848937°
W 11.513672°		 ← 4 153.58 m →
17 228 333 m²		 N 64.848937°
W 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4681396484375 y=0.2611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4681396484375 × 212)
    floor (0.4681396484375 × 4096)
    floor (1917.5)     		tx = 1917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2611083984375 × 212)
    floor (0.2611083984375 × 4096)
    floor (1069.5)     		ty = 1069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1917 / 1069 ti = "12/1917/1069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1917/1069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1917 ÷ 212
    1917 ÷ 4096     		x = 0.468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1069 ÷ 212
    1069 ÷ 4096     		y = 0.260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260986328125 × 2 - 1) × π
    0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20095148} λ = -0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50176719129712))-π/2
    2×atan(4.48961607446293)-π/2
    2×1.35163764874458-π/2
    2.70327529748916-1.57079632675     		φ = 1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1917 KachelY 1069 -0.20095148 1.13247897 -11.513672 64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 1918 KachelY 1069 -0.19941750 1.13247897 -11.425781 64.886265
    Unten links KachelX 1917 KachelY + 1 1070 -0.20095148 1.13182747 -11.513672 64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 1918 KachelY + 1 1070 -0.19941750 1.13182747 -11.425781 64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13247897-1.13182747) × R
    0.000651500000000027 × 6371000     		dl = 4150.70650000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13247897-1.13182747) × R
    0.000651500000000027 × 6371000     		dr = 4150.70650000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20095148--0.19941750) × cos(1.13247897) × R
    0.00153397999999999 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 4147.81664710007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20095148--0.19941750) × cos(1.13182747) × R
    0.00153397999999999 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 4153.58096658721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13247897)-sin(1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.425006310260096)×R²
    abs(-0.19941750--0.20095148)×0.000589821692678794×R²
    0.00153397999999999×0.000589821692678794×6371000²
    0.00153397999999999×0.000589821692678794×40589641000000     		ar = 17228333.1264925m²