Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19164 / 11820
↖ ↑ ↗
← N 81.290040°
W127.364502°		 ← 46.25 m → N 81.290040°
W127.361755°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.289624°
W127.364502°		 ← 46.25 m →
2 139 m²		 N 81.289624°
W127.361755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146213531494141 y=0.0901832580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146213531494141 × 217)
    floor (0.146213531494141 × 131072)
    floor (19164.5)     		tx = 19164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901832580566406 × 217)
    floor (0.0901832580566406 × 131072)
    floor (11820.5)     		ty = 11820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19164 / 11820 ti = "17/19164/11820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19164/11820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19164 ÷ 217
    19164 ÷ 131072     		x = 0.146209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11820 ÷ 217
    11820 ÷ 131072     		y = 0.090179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.70758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22292991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090179443359375 × 2 - 1) × π
    0.81964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57497849999094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22292991} λ = -2.22292991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57497849999094))-π/2
    2×atan(13.131034838087)-π/2
    2×1.49478758157978-π/2
    2.98957516315957-1.57079632675     		φ = 1.41877884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22292991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.364502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41877884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.290040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19164 KachelY 11820 -2.22292991 1.41877884 -127.364502 81.290040
    Oben rechts KachelX + 1 19165 KachelY 11820 -2.22288197 1.41877884 -127.361755 81.290040
    Unten links KachelX 19164 KachelY + 1 11821 -2.22292991 1.41877158 -127.364502 81.289624
    Unten rechts KachelX + 1 19165 KachelY + 1 11821 -2.22288197 1.41877158 -127.361755 81.289624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41877884-1.41877158) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41877884-1.41877158) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22292991--2.22288197) × cos(1.41877884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151432659587868 × 6371000     		do = 46.2514321147622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22292991--2.22288197) × cos(1.41877158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151439835858481 × 6371000     		du = 46.2536239325249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41877884)-sin(1.41877158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151432659587868-0.151439835858481)×R²
    abs(-2.22288197--2.22292991)×7.17627061389003e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17627061389003e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17627061389003e-06×40589641000000     		ar = 2139.33945475078m²