Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19161 / 14872
↖ ↑ ↗
← N 16.383391°
E 30.509033°		 ← 1 172.04 m → N 16.383391°
E 30.520020°		 →
↑
1 172.07 m
↓
↑
1 172.07 m
↓
N 16.372851°
E 30.509033°		 ← 1 172.10 m →
1 373 748 m²		 N 16.372851°
E 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584762573242188 y=0.453872680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584762573242188 × 215)
    floor (0.584762573242188 × 32768)
    floor (19161.5)     		tx = 19161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453872680664062 × 215)
    floor (0.453872680664062 × 32768)
    floor (14872.5)     		ty = 14872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19161 / 14872 ti = "15/19161/14872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19161/14872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19161 ÷ 215
    19161 ÷ 32768     		x = 0.584747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14872 ÷ 215
    14872 ÷ 32768     		y = 0.453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584747314453125 × 2 - 1) × π
    0.16949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53248308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.2899223689021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53248308} λ = 0.53248308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2899223689021))-π/2
    2×atan(1.33632374371926)-π/2
    2×0.928370222267963-π/2
    1.85674044453593-1.57079632675     		φ = 0.28594412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53248308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.509033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28594412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.383391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19161 KachelY 14872 0.53248308 0.28594412 30.509033 16.383391
    Oben rechts KachelX + 1 19162 KachelY 14872 0.53267483 0.28594412 30.520020 16.383391
    Unten links KachelX 19161 KachelY + 1 14873 0.53248308 0.28576015 30.509033 16.372851
    Unten rechts KachelX + 1 19162 KachelY + 1 14873 0.53267483 0.28576015 30.520020 16.372851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28594412-0.28576015) × R
    0.000183970000000033 × 6371000     		dl = 1172.07287000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28594412-0.28576015) × R
    0.000183970000000033 × 6371000     		dr = 1172.07287000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53248308-0.53267483) × cos(0.28594412) × R
    0.000191750000000046 × 0.95939577862071 × 6371000     		do = 1172.03553944765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53248308-0.53267483) × cos(0.28576015) × R
    0.000191750000000046 × 0.959447653581697 × 6371000     		du = 1172.09891193609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28594412)-sin(0.28576015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95939577862071-0.959447653581697)×R²
    abs(0.53267483-0.53248308)×5.18749609871305e-05×R²
    0.000191750000000046×5.18749609871305e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.18749609871305e-05×40589641000000     		ar = 1373748.20092434m²