Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19160 / 14875
↖ ↑ ↗
← N 16.351768°
E 30.498047°		 ← 1 172.23 m → N 16.351768°
E 30.509033°		 →
↑
1 172.26 m
↓
↑
1 172.26 m
↓
N 16.341226°
E 30.498047°		 ← 1 172.29 m →
1 374 195 m²		 N 16.341226°
E 30.509033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584732055664062 y=0.453964233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584732055664062 × 215)
    floor (0.584732055664062 × 32768)
    floor (19160.5)     		tx = 19160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453964233398438 × 215)
    floor (0.453964233398438 × 32768)
    floor (14875.5)     		ty = 14875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19160 / 14875 ti = "15/19160/14875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19160/14875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19160 ÷ 215
    19160 ÷ 32768     		x = 0.584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14875 ÷ 215
    14875 ÷ 32768     		y = 0.453948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584716796875 × 2 - 1) × π
    0.16943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53229133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453948974609375 × 2 - 1) × π
    0.09210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.289347126106659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53229133} λ = 0.53229133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289347126106659))-π/2
    2×atan(1.33555525416854)-π/2
    2×0.928094257139232-π/2
    1.85618851427846-1.57079632675     		φ = 0.28539219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53229133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28539219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.351768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19160 KachelY 14875 0.53229133 0.28539219 30.498047 16.351768
    Oben rechts KachelX + 1 19161 KachelY 14875 0.53248308 0.28539219 30.509033 16.351768
    Unten links KachelX 19160 KachelY + 1 14876 0.53229133 0.28520819 30.498047 16.341226
    Unten rechts KachelX + 1 19161 KachelY + 1 14876 0.53248308 0.28520819 30.509033 16.341226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28539219-0.28520819) × R
    0.000184000000000017 × 6371000     		dl = 1172.26400000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28539219-0.28520819) × R
    0.000184000000000017 × 6371000     		dr = 1172.26400000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53229133-0.53248308) × cos(0.28539219) × R
    0.000191750000000046 × 0.959551311715188 × 6371000     		do = 1172.22554478054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53229133-0.53248308) × cos(0.28520819) × R
    0.000191750000000046 × 0.959603097690695 × 6371000     		du = 1172.28880856082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28539219)-sin(0.28520819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959551311715188-0.959603097690695)×R²
    abs(0.53248308-0.53229133)×5.17859755065908e-05×R²
    0.000191750000000046×5.17859755065908e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.17859755065908e-05×40589641000000     		ar = 1374194.89082962m²