Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19160 / 14873
↖ ↑ ↗
← N 16.372851°
E 30.498047°		 ← 1 172.10 m → N 16.372851°
E 30.509033°		 →
↑
1 172.14 m
↓
↑
1 172.14 m
↓
N 16.362309°
E 30.498047°		 ← 1 172.16 m →
1 373 897 m²		 N 16.362309°
E 30.509033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584732055664062 y=0.453903198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584732055664062 × 215)
    floor (0.584732055664062 × 32768)
    floor (19160.5)     		tx = 19160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453903198242188 × 215)
    floor (0.453903198242188 × 32768)
    floor (14873.5)     		ty = 14873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19160 / 14873 ti = "15/19160/14873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19160/14873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19160 ÷ 215
    19160 ÷ 32768     		x = 0.584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14873 ÷ 215
    14873 ÷ 32768     		y = 0.453887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584716796875 × 2 - 1) × π
    0.16943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53229133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453887939453125 × 2 - 1) × π
    0.09222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.289730621303619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53229133} λ = 0.53229133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289730621303619))-π/2
    2×atan(1.33606753141544)-π/2
    2×0.928278238862712-π/2
    1.85655647772542-1.57079632675     		φ = 0.28576015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53229133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28576015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.372851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19160 KachelY 14873 0.53229133 0.28576015 30.498047 16.372851
    Oben rechts KachelX + 1 19161 KachelY 14873 0.53248308 0.28576015 30.509033 16.372851
    Unten links KachelX 19160 KachelY + 1 14874 0.53229133 0.28557617 30.498047 16.362309
    Unten rechts KachelX + 1 19161 KachelY + 1 14874 0.53248308 0.28557617 30.509033 16.362309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28576015-0.28557617) × R
    0.000183979999999972 × 6371000     		dl = 1172.13657999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28576015-0.28557617) × R
    0.000183979999999972 × 6371000     		dr = 1172.13657999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53229133-0.53248308) × cos(0.28576015) × R
    0.000191750000000046 × 0.959447653581697 × 6371000     		do = 1172.09891193609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53229133-0.53248308) × cos(0.28557617) × R
    0.000191750000000046 × 0.959499498887319 × 6371000     		du = 1172.16224819636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28576015)-sin(0.28557617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959447653581697-0.959499498887319)×R²
    abs(0.53248308-0.53229133)×5.1845305622189e-05×R²
    0.000191750000000046×5.1845305622189e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.1845305622189e-05×40589641000000     		ar = 1373897.13330756m²