Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19159 / 14876
↖ ↑ ↗
← N 16.341226°
E 30.487061°		 ← 1 172.23 m → N 16.341226°
E 30.498047°		 →
↑
1 172.33 m
↓
↑
1 172.33 m
↓
N 16.330683°
E 30.487061°		 ← 1 172.29 m →
1 374 272 m²		 N 16.330683°
E 30.498047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584701538085938 y=0.453994750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584701538085938 × 215)
    floor (0.584701538085938 × 32768)
    floor (19159.5)     		tx = 19159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453994750976562 × 215)
    floor (0.453994750976562 × 32768)
    floor (14876.5)     		ty = 14876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19159 / 14876 ti = "15/19159/14876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19159/14876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19159 ÷ 215
    19159 ÷ 32768     		x = 0.584686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14876 ÷ 215
    14876 ÷ 32768     		y = 0.4539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584686279296875 × 2 - 1) × π
    0.16937255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53209959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    0.092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.289155378508179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53209959} λ = 0.53209959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289155378508179))-π/2
    2×atan(1.33529918920662)-π/2
    2×0.928002258826693-π/2
    1.85600451765339-1.57079632675     		φ = 0.28520819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53209959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.487061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28520819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.341226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19159 KachelY 14876 0.53209959 0.28520819 30.487061 16.341226
    Oben rechts KachelX + 1 19160 KachelY 14876 0.53229133 0.28520819 30.498047 16.341226
    Unten links KachelX 19159 KachelY + 1 14877 0.53209959 0.28502418 30.487061 16.330683
    Unten rechts KachelX + 1 19160 KachelY + 1 14877 0.53229133 0.28502418 30.498047 16.330683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28520819-0.28502418) × R
    0.000184009999999957 × 6371000     		dl = 1172.32770999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28520819-0.28502418) × R
    0.000184009999999957 × 6371000     		dr = 1172.32770999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53209959-0.53229133) × cos(0.28520819) × R
    0.000191739999999996 × 0.959603097690695 × 6371000     		do = 1172.22767224716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53209959-0.53229133) × cos(0.28502418) × R
    0.000191739999999996 × 0.959654853989686 × 6371000     		du = 1172.29089647605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28520819)-sin(0.28502418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959603097690695-0.959654853989686)×R²
    abs(0.53229133-0.53209959)×5.17562989907905e-05×R²
    0.000191739999999996×5.17562989907905e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.17562989907905e-05×40589641000000     		ar = 1374272.04623944m²