Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19156 / 14802
↖ ↑ ↗
← N 17.119793°
E 30.454101°		 ← 1 167.51 m → N 17.119793°
E 30.465088°		 →
↑
1 167.55 m
↓
↑
1 167.55 m
↓
N 17.109293°
E 30.454101°		 ← 1 167.58 m →
1 363 164 m²		 N 17.109293°
E 30.465088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584609985351562 y=0.451736450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584609985351562 × 215)
    floor (0.584609985351562 × 32768)
    floor (19156.5)     		tx = 19156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451736450195312 × 215)
    floor (0.451736450195312 × 32768)
    floor (14802.5)     		ty = 14802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19156 / 14802 ti = "15/19156/14802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19156/14802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19156 ÷ 215
    19156 ÷ 32768     		x = 0.5845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14802 ÷ 215
    14802 ÷ 32768     		y = 0.45172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5845947265625 × 2 - 1) × π
    0.169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53152434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45172119140625 × 2 - 1) × π
    0.0965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.303344700795715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53152434} λ = 0.53152434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303344700795715))-π/2
    2×atan(1.35438124027989)-π/2
    2×0.934796536591789-π/2
    1.86959307318358-1.57079632675     		φ = 0.29879675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53152434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.454101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29879675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.119793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19156 KachelY 14802 0.53152434 0.29879675 30.454101 17.119793
    Oben rechts KachelX + 1 19157 KachelY 14802 0.53171609 0.29879675 30.465088 17.119793
    Unten links KachelX 19156 KachelY + 1 14803 0.53152434 0.29861349 30.454101 17.109293
    Unten rechts KachelX + 1 19157 KachelY + 1 14803 0.53171609 0.29861349 30.465088 17.109293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29879675-0.29861349) × R
    0.000183260000000018 × 6371000     		dl = 1167.54946000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29879675-0.29861349) × R
    0.000183260000000018 × 6371000     		dr = 1167.54946000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53152434-0.53171609) × cos(0.29879675) × R
    0.000191749999999935 × 0.955691382155422 × 6371000     		do = 1167.51010332742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53152434-0.53171609) × cos(0.29861349) × R
    0.000191749999999935 × 0.955745312442009 × 6371000     		du = 1167.57598668228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29879675)-sin(0.29861349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955691382155422-0.955745312442009)×R²
    abs(0.53171609-0.53152434)×5.39302865869562e-05×R²
    0.000191749999999935×5.39302865869562e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.39302865869562e-05×40589641000000     		ar = 1363164.2555376m²