Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19151 / 14805
↖ ↑ ↗
← N 17.088291°
E 30.399170°		 ← 1 167.71 m → N 17.088291°
E 30.410156°		 →
↑
1 167.74 m
↓
↑
1 167.74 m
↓
N 17.077790°
E 30.399170°		 ← 1 167.77 m →
1 363 618 m²		 N 17.077790°
E 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584457397460938 y=0.451828002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584457397460938 × 215)
    floor (0.584457397460938 × 32768)
    floor (19151.5)     		tx = 19151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451828002929688 × 215)
    floor (0.451828002929688 × 32768)
    floor (14805.5)     		ty = 14805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19151 / 14805 ti = "15/19151/14805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19151/14805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19151 ÷ 215
    19151 ÷ 32768     		x = 0.584442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14805 ÷ 215
    14805 ÷ 32768     		y = 0.451812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584442138671875 × 2 - 1) × π
    0.16888427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53056560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    0.09637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.302769458000275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53056560} λ = 0.53056560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302769458000275))-π/2
    2×atan(1.35360236627145)-π/2
    2×0.93452163603979-π/2
    1.86904327207958-1.57079632675     		φ = 0.29824695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53056560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29824695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.088291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19151 KachelY 14805 0.53056560 0.29824695 30.399170 17.088291
    Oben rechts KachelX + 1 19152 KachelY 14805 0.53075735 0.29824695 30.410156 17.088291
    Unten links KachelX 19151 KachelY + 1 14806 0.53056560 0.29806366 30.399170 17.077790
    Unten rechts KachelX + 1 19152 KachelY + 1 14806 0.53075735 0.29806366 30.410156 17.077790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29824695-0.29806366) × R
    0.000183290000000003 × 6371000     		dl = 1167.74059000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29824695-0.29806366) × R
    0.000183290000000003 × 6371000     		dr = 1167.74059000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53056560-0.53075735) × cos(0.29824695) × R
    0.000191750000000046 × 0.955853082596369 × 6371000     		do = 1167.7076429335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53056560-0.53075735) × cos(0.29806366) × R
    0.000191750000000046 × 0.955906925390213 × 6371000     		du = 1167.77341940379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29824695)-sin(0.29806366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955853082596369-0.955906925390213)×R²
    abs(0.53075735-0.53056560)×5.38427938445718e-05×R²
    0.000191750000000046×5.38427938445718e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.38427938445718e-05×40589641000000     		ar = 1363618.02065153m²