Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19151 / 14803
↖ ↑ ↗
← N 17.109293°
E 30.399170°		 ← 1 167.58 m → N 17.109293°
E 30.410156°		 →
↑
1 167.61 m
↓
↑
1 167.61 m
↓
N 17.098792°
E 30.399170°		 ← 1 167.64 m →
1 363 316 m²		 N 17.098792°
E 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584457397460938 y=0.451766967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584457397460938 × 215)
    floor (0.584457397460938 × 32768)
    floor (19151.5)     		tx = 19151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451766967773438 × 215)
    floor (0.451766967773438 × 32768)
    floor (14803.5)     		ty = 14803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19151 / 14803 ti = "15/19151/14803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19151/14803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19151 ÷ 215
    19151 ÷ 32768     		x = 0.584442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14803 ÷ 215
    14803 ÷ 32768     		y = 0.451751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584442138671875 × 2 - 1) × π
    0.16888427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53056560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451751708984375 × 2 - 1) × π
    0.09649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.303152953197235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53056560} λ = 0.53056560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303152953197235))-π/2
    2×atan(1.35412156582641)-π/2
    2×0.934704908242543-π/2
    1.86940981648509-1.57079632675     		φ = 0.29861349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53056560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29861349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.109293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19151 KachelY 14803 0.53056560 0.29861349 30.399170 17.109293
    Oben rechts KachelX + 1 19152 KachelY 14803 0.53075735 0.29861349 30.410156 17.109293
    Unten links KachelX 19151 KachelY + 1 14804 0.53056560 0.29843022 30.399170 17.098792
    Unten rechts KachelX + 1 19152 KachelY + 1 14804 0.53075735 0.29843022 30.410156 17.098792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29861349-0.29843022) × R
    0.000183269999999958 × 6371000     		dl = 1167.61316999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29861349-0.29843022) × R
    0.000183269999999958 × 6371000     		dr = 1167.61316999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53056560-0.53075735) × cos(0.29861349) × R
    0.000191750000000046 × 0.955745312442009 × 6371000     		do = 1167.57598668295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53056560-0.53075735) × cos(0.29843022) × R
    0.000191750000000046 × 0.95579921357083 × 6371000     		du = 1167.64183441754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29861349)-sin(0.29843022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955745312442009-0.95579921357083)×R²
    abs(0.53075735-0.53056560)×5.39011288208657e-05×R²
    0.000191750000000046×5.39011288208657e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.39011288208657e-05×40589641000000     		ar = 1363315.54518334m²