Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1915 / 441
↖ ↑ ↗
← N 71.016960°
E156.621094°		 ← 6 358.10 m → N 71.016960°
E156.796875°		 →
↑
6 367.30 m
↓
↑
6 367.30 m
↓
N 70.959697°
E156.621094°		 ← 6 376.57 m →
40 542 741 m²		 N 70.959697°
E156.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935302734375 y=0.215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935302734375 × 211)
    floor (0.935302734375 × 2048)
    floor (1915.5)     		tx = 1915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215576171875 × 211)
    floor (0.215576171875 × 2048)
    floor (441.5)     		ty = 441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1915 / 441 ti = "11/1915/441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1915/441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1915 ÷ 211
    1915 ÷ 2048     		x = 0.93505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 441 ÷ 211
    441 ÷ 2048     		y = 0.21533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93505859375 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73355376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21533203125 × 2 - 1) × π
    0.5693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78862159862354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73355376} λ = 2.73355376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78862159862354))-π/2
    2×atan(5.98120228419669)-π/2
    2×1.40513804964942-π/2
    2.81027609929883-1.57079632675     		φ = 1.23947977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73355376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23947977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.016960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1915 KachelY 441 2.73355376 1.23947977 156.621094 71.016960
    Oben rechts KachelX + 1 1916 KachelY 441 2.73662173 1.23947977 156.796875 71.016960
    Unten links KachelX 1915 KachelY + 1 442 2.73355376 1.23848035 156.621094 70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 1916 KachelY + 1 442 2.73662173 1.23848035 156.796875 70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23947977-1.23848035) × R
    0.000999420000000084 × 6371000     		dl = 6367.30482000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23947977-1.23848035) × R
    0.000999420000000084 × 6371000     		dr = 6367.30482000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73355376-2.73662173) × cos(1.23947977) × R
    0.00306797000000003 × 0.325288265675305 × 6371000     		do = 6358.09643426794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73355376-2.73662173) × cos(1.23848035) × R
    0.00306797000000003 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 6376.56555943075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23947977)-sin(1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325288265675305-0.32623316950853)×R²
    abs(2.73662173-2.73355376)×0.000944903833224264×R²
    0.00306797000000003×0.000944903833224264×6371000²
    0.00306797000000003×0.000944903833224264×40589641000000     		ar = 40542740.7214205m²