Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19148 / 14879
↖ ↑ ↗
← N 16.309595°
E 30.366211°		 ← 1 172.48 m → N 16.309595°
E 30.377197°		 →
↑
1 172.46 m
↓
↑
1 172.46 m
↓
N 16.299051°
E 30.366211°		 ← 1 172.54 m →
1 374 715 m²		 N 16.299051°
E 30.377197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584365844726562 y=0.454086303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584365844726562 × 215)
    floor (0.584365844726562 × 32768)
    floor (19148.5)     		tx = 19148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454086303710938 × 215)
    floor (0.454086303710938 × 32768)
    floor (14879.5)     		ty = 14879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19148 / 14879 ti = "15/19148/14879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19148/14879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19148 ÷ 215
    19148 ÷ 32768     		x = 0.5843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14879 ÷ 215
    14879 ÷ 32768     		y = 0.454071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    0.09185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.288580135712738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52999036} λ = 0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288580135712738))-π/2
    2×atan(1.33453128885402)-π/2
    2×0.927726234120045-π/2
    1.85545246824009-1.57079632675     		φ = 0.28465614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28465614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.309595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19148 KachelY 14879 0.52999036 0.28465614 30.366211 16.309595
    Oben rechts KachelX + 1 19149 KachelY 14879 0.53018211 0.28465614 30.377197 16.309595
    Unten links KachelX 19148 KachelY + 1 14880 0.52999036 0.28447211 30.366211 16.299051
    Unten rechts KachelX + 1 19149 KachelY + 1 14880 0.53018211 0.28447211 30.377197 16.299051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28465614-0.28447211) × R
    0.000184030000000002 × 6371000     		dl = 1172.45513000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28465614-0.28447211) × R
    0.000184030000000002 × 6371000     		dr = 1172.45513000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52999036-0.53018211) × cos(0.28465614) × R
    0.000191750000000046 × 0.959758274721646 × 6371000     		do = 1172.47837891253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52999036-0.53018211) × cos(0.28447211) × R
    0.000191750000000046 × 0.959809939144049 × 6371000     		du = 1172.54149419876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28465614)-sin(0.28447211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959758274721646-0.959809939144049)×R²
    abs(0.53018211-0.52999036)×5.16644224033413e-05×R²
    0.000191750000000046×5.16644224033413e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.16644224033413e-05×40589641000000     		ar = 1374715.29397043m²