Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19148 / 14836
↖ ↑ ↗
← N 16.762468°
E 30.366211°		 ← 1 169.73 m → N 16.762468°
E 30.377197°		 →
↑
1 169.72 m
↓
↑
1 169.72 m
↓
N 16.751948°
E 30.366211°		 ← 1 169.79 m →
1 368 289 m²		 N 16.751948°
E 30.377197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584365844726562 y=0.452774047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584365844726562 × 215)
    floor (0.584365844726562 × 32768)
    floor (19148.5)     		tx = 19148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452774047851562 × 215)
    floor (0.452774047851562 × 32768)
    floor (14836.5)     		ty = 14836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19148 / 14836 ti = "15/19148/14836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19148/14836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19148 ÷ 215
    19148 ÷ 32768     		x = 0.5843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14836 ÷ 215
    14836 ÷ 32768     		y = 0.4527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4527587890625 × 2 - 1) × π
    0.094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.296825282447388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52999036} λ = 0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296825282447388))-π/2
    2×atan(1.34558018243284)-π/2
    2×0.931678289612057-π/2
    1.86335657922411-1.57079632675     		φ = 0.29256025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29256025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.762468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19148 KachelY 14836 0.52999036 0.29256025 30.366211 16.762468
    Oben rechts KachelX + 1 19149 KachelY 14836 0.53018211 0.29256025 30.377197 16.762468
    Unten links KachelX 19148 KachelY + 1 14837 0.52999036 0.29237665 30.366211 16.751948
    Unten rechts KachelX + 1 19149 KachelY + 1 14837 0.53018211 0.29237665 30.377197 16.751948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29256025-0.29237665) × R
    0.000183600000000006 × 6371000     		dl = 1169.71560000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29256025-0.29237665) × R
    0.000183600000000006 × 6371000     		dr = 1169.71560000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52999036-0.53018211) × cos(0.29256025) × R
    0.000191750000000046 × 0.957508626543065 × 6371000     		do = 1169.73012039888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52999036-0.53018211) × cos(0.29237665) × R
    0.000191750000000046 × 0.957561561494363 × 6371000     		du = 1169.79478781308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29256025)-sin(0.29237665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957508626543065-0.957561561494363)×R²
    abs(0.53018211-0.52999036)×5.29349512982114e-05×R²
    0.000191750000000046×5.29349512982114e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.29349512982114e-05×40589641000000     		ar = 1368289.39470562m²