Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19146 / 14833
↖ ↑ ↗
← N 16.794024°
E 30.344238°		 ← 1 169.47 m → N 16.794024°
E 30.355224°		 →
↑
1 169.59 m
↓
↑
1 169.59 m
↓
N 16.783505°
E 30.344238°		 ← 1 169.54 m →
1 367 842 m²		 N 16.783505°
E 30.355224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584304809570312 y=0.452682495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584304809570312 × 215)
    floor (0.584304809570312 × 32768)
    floor (19146.5)     		tx = 19146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452682495117188 × 215)
    floor (0.452682495117188 × 32768)
    floor (14833.5)     		ty = 14833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19146 / 14833 ti = "15/19146/14833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19146/14833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19146 ÷ 215
    19146 ÷ 32768     		x = 0.58428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14833 ÷ 215
    14833 ÷ 32768     		y = 0.452667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58428955078125 × 2 - 1) × π
    0.1685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52960687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    0.09466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.297400525242828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52960687} λ = 0.52960687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297400525242828))-π/2
    2×atan(1.34635444041029)-π/2
    2×0.931953666723895-π/2
    1.86390733344779-1.57079632675     		φ = 0.29311101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52960687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.344238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29311101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.794024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19146 KachelY 14833 0.52960687 0.29311101 30.344238 16.794024
    Oben rechts KachelX + 1 19147 KachelY 14833 0.52979861 0.29311101 30.355224 16.794024
    Unten links KachelX 19146 KachelY + 1 14834 0.52960687 0.29292743 30.344238 16.783505
    Unten rechts KachelX + 1 19147 KachelY + 1 14834 0.52979861 0.29292743 30.355224 16.783505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29311101-0.29292743) × R
    0.000183580000000017 × 6371000     		dl = 1169.58818000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29311101-0.29292743) × R
    0.000183580000000017 × 6371000     		dr = 1169.58818000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52960687-0.52979861) × cos(0.29311101) × R
    0.000191739999999996 × 0.957349639593872 × 6371000     		do = 1169.47490295566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52960687-0.52979861) × cos(0.29292743) × R
    0.000191739999999996 × 0.957402665587518 × 6371000     		du = 1169.53967821249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29311101)-sin(0.29292743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957349639593872-0.957402665587518)×R²
    abs(0.52979861-0.52960687)×5.30259936459831e-05×R²
    0.000191739999999996×5.30259936459831e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.30259936459831e-05×40589641000000     		ar = 1367841.90733271m²