Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19145 / 14878
↖ ↑ ↗
← N 16.320140°
E 30.333252°		 ← 1 172.42 m → N 16.320140°
E 30.344238°		 →
↑
1 172.46 m
↓
↑
1 172.46 m
↓
N 16.309595°
E 30.333252°		 ← 1 172.48 m →
1 374 641 m²		 N 16.309595°
E 30.344238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584274291992188 y=0.454055786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584274291992188 × 215)
    floor (0.584274291992188 × 32768)
    floor (19145.5)     		tx = 19145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454055786132812 × 215)
    floor (0.454055786132812 × 32768)
    floor (14878.5)     		ty = 14878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19145 / 14878 ti = "15/19145/14878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19145/14878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19145 ÷ 215
    19145 ÷ 32768     		x = 0.584259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14878 ÷ 215
    14878 ÷ 32768     		y = 0.45404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584259033203125 × 2 - 1) × π
    0.16851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52941512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    0.0919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.288771883311218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52941512} λ = 0.52941512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288771883311218))-π/2
    2×atan(1.33478720655877)-π/2
    2×0.927818247314252-π/2
    1.8556364946285-1.57079632675     		φ = 0.28484017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52941512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.333252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28484017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.320140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19145 KachelY 14878 0.52941512 0.28484017 30.333252 16.320140
    Oben rechts KachelX + 1 19146 KachelY 14878 0.52960687 0.28484017 30.344238 16.320140
    Unten links KachelX 19145 KachelY + 1 14879 0.52941512 0.28465614 30.333252 16.309595
    Unten rechts KachelX + 1 19146 KachelY + 1 14879 0.52960687 0.28465614 30.344238 16.309595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28484017-0.28465614) × R
    0.000184030000000002 × 6371000     		dl = 1172.45513000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28484017-0.28465614) × R
    0.000184030000000002 × 6371000     		dr = 1172.45513000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52941512-0.52960687) × cos(0.28484017) × R
    0.000191749999999935 × 0.95970657779507 × 6371000     		do = 1172.41522391724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52941512-0.52960687) × cos(0.28465614) × R
    0.000191749999999935 × 0.959758274721646 × 6371000     		du = 1172.47837891185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28484017)-sin(0.28465614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95970657779507-0.959758274721646)×R²
    abs(0.52960687-0.52941512)×5.16969265760281e-05×R²
    0.000191749999999935×5.16969265760281e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.16969265760281e-05×40589641000000     		ar = 1374641.27085025m²