Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19143 / 14841
↖ ↑ ↗
← N 16.709863°
E 30.311279°		 ← 1 170.05 m → N 16.709863°
E 30.322266°		 →
↑
1 170.10 m
↓
↑
1 170.10 m
↓
N 16.699340°
E 30.311279°		 ← 1 170.12 m →
1 369 114 m²		 N 16.699340°
E 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584213256835938 y=0.452926635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584213256835938 × 215)
    floor (0.584213256835938 × 32768)
    floor (19143.5)     		tx = 19143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452926635742188 × 215)
    floor (0.452926635742188 × 32768)
    floor (14841.5)     		ty = 14841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19143 / 14841 ti = "15/19143/14841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19143/14841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19143 ÷ 215
    19143 ÷ 32768     		x = 0.584197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14841 ÷ 215
    14841 ÷ 32768     		y = 0.452911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584197998046875 × 2 - 1) × π
    0.16839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52903162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452911376953125 × 2 - 1) × π
    0.09417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.295866544454987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52903162} λ = 0.52903162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295866544454987))-π/2
    2×atan(1.34429074180675)-π/2
    2×0.931219226264105-π/2
    1.86243845252821-1.57079632675     		φ = 0.29164213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52903162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.311279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29164213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.709863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19143 KachelY 14841 0.52903162 0.29164213 30.311279 16.709863
    Oben rechts KachelX + 1 19144 KachelY 14841 0.52922337 0.29164213 30.322266 16.709863
    Unten links KachelX 19143 KachelY + 1 14842 0.52903162 0.29145847 30.311279 16.699340
    Unten rechts KachelX + 1 19144 KachelY + 1 14842 0.52922337 0.29145847 30.322266 16.699340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29164213-0.29145847) × R
    0.000183659999999974 × 6371000     		dl = 1170.09785999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29164213-0.29145847) × R
    0.000183659999999974 × 6371000     		dr = 1170.09785999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52903162-0.52922337) × cos(0.29164213) × R
    0.000191749999999935 × 0.957773013000741 × 6371000     		do = 1170.05310527207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52903162-0.52922337) × cos(0.29145847) × R
    0.000191749999999935 × 0.957825803762065 × 6371000     		du = 1170.11759653814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29164213)-sin(0.29145847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957773013000741-0.957825803762065)×R²
    abs(0.52922337-0.52903162)×5.27907613238066e-05×R²
    0.000191749999999935×5.27907613238066e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.27907613238066e-05×40589641000000     		ar = 1369114.36895997m²