Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1914 / 2662
↖ ↑ ↗
← N 76.320754°
W137.944336°		 ← 577.80 m → N 76.320754°
W137.922363°		 →
↑
577.91 m
↓
↑
577.91 m
↓
N 76.315556°
W137.944336°		 ← 578.02 m →
333 982 m²		 N 76.315556°
W137.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116851806640625 y=0.162506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116851806640625 × 214)
    floor (0.116851806640625 × 16384)
    floor (1914.5)     		tx = 1914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162506103515625 × 214)
    floor (0.162506103515625 × 16384)
    floor (2662.5)     		ty = 2662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1914 / 2662 ti = "14/1914/2662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1914/2662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1914 ÷ 214
    1914 ÷ 16384     		x = 0.1168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2662 ÷ 214
    2662 ÷ 16384     		y = 0.1624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40758285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1624755859375 × 2 - 1) × π
    0.675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12072843919128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40758285} λ = -2.40758285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12072843919128))-π/2
    2×atan(8.33720842562782)-π/2
    2×1.4514223847679-π/2
    2.9028447695358-1.57079632675     		φ = 1.33204844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40758285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33204844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.320754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1914 KachelY 2662 -2.40758285 1.33204844 -137.944336 76.320754
    Oben rechts KachelX + 1 1915 KachelY 2662 -2.40719935 1.33204844 -137.922363 76.320754
    Unten links KachelX 1914 KachelY + 1 2663 -2.40758285 1.33195773 -137.944336 76.315556
    Unten rechts KachelX + 1 1915 KachelY + 1 2663 -2.40719935 1.33195773 -137.922363 76.315556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33204844-1.33195773) × R
    9.07099999998273e-05 × 6371000     		dl = 577.9134099989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33204844-1.33195773) × R
    9.07099999998273e-05 × 6371000     		dr = 577.9134099989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40758285--2.40719935) × cos(1.33204844) × R
    0.00038349999999987 × 0.236486215306425 × 6371000     		do = 577.801685404363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40758285--2.40719935) × cos(1.33195773) × R
    0.00038349999999987 × 0.236574351330058 × 6371000     		du = 578.017026255981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33204844)-sin(1.33195773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236486215306425-0.236574351330058)×R²
    abs(-2.40719935--2.40758285)×8.81360236330564e-05×R²
    0.00038349999999987×8.81360236330564e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.81360236330564e-05×40589641000000     		ar = 333981.566727613m²