Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1914 / 1782
↖ ↑ ↗
← N 70.757966°
W 95.888672°		 ← 1 610.39 m → N 70.757966°
W 95.844727°		 →
↑
1 610.97 m
↓
↑
1 610.97 m
↓
N 70.743478°
W 95.888672°		 ← 1 611.56 m →
2 595 231 m²		 N 70.743478°
W 95.844727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23370361328125 y=0.21759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23370361328125 × 213)
    floor (0.23370361328125 × 8192)
    floor (1914.5)     		tx = 1914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21759033203125 × 213)
    floor (0.21759033203125 × 8192)
    floor (1782.5)     		ty = 1782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1914 / 1782 ti = "13/1914/1782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1914/1782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1914 ÷ 213
    1914 ÷ 8192     		x = 0.233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1782 ÷ 213
    1782 ÷ 8192     		y = 0.217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217529296875 × 2 - 1) × π
    0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67357304} λ = -1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77481577153296))-π/2
    2×atan(5.89919423669216)-π/2
    2×1.40287789948722-π/2
    2.80575579897444-1.57079632675     		φ = 1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1914 KachelY 1782 -1.67357304 1.23495947 -95.888672 70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 1915 KachelY 1782 -1.67280605 1.23495947 -95.844727 70.757966
    Unten links KachelX 1914 KachelY + 1 1783 -1.67357304 1.23470661 -95.888672 70.743478
    Unten rechts KachelX + 1 1915 KachelY + 1 1783 -1.67280605 1.23470661 -95.844727 70.743478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23495947-1.23470661) × R
    0.000252860000000021 × 6371000     		dl = 1610.97106000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23495947-1.23470661) × R
    0.000252860000000021 × 6371000     		dr = 1610.97106000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67357304--1.67280605) × cos(1.23495947) × R
    0.000766990000000023 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 1610.38975201138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67357304--1.67280605) × cos(1.23470661) × R
    0.000766990000000023 × 0.329798114242072 × 6371000     		du = 1611.55627229859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23495947)-sin(1.23470661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.329798114242072)×R²
    abs(-1.67280605--1.67357304)×0.000238723398965579×R²
    0.000766990000000023×0.000238723398965579×6371000²
    0.000766990000000023×0.000238723398965579×40589641000000     		ar = 2595230.91485142m²