Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1914 / 1290
↖ ↑ ↗
← N 55.279115°
W 11.777344°		 ← 5 566.53 m → N 55.279115°
W 11.689453°		 →
↑
5 569.97 m
↓
↑
5 569.97 m
↓
N 55.229023°
W 11.777344°		 ← 5 573.55 m →
31 024 960 m²		 N 55.229023°
W 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4674072265625 y=0.3150634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4674072265625 × 212)
    floor (0.4674072265625 × 4096)
    floor (1914.5)     		tx = 1914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3150634765625 × 212)
    floor (0.3150634765625 × 4096)
    floor (1290.5)     		ty = 1290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1914 / 1290 ti = "12/1914/1290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1914/1290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1914 ÷ 212
    1914 ÷ 4096     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1290 ÷ 212
    1290 ÷ 4096     		y = 0.31494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31494140625 × 2 - 1) × π
    0.3701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16275743718408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16275743718408))-π/2
    2×atan(3.19874145516565)-π/2
    2×1.26779944810559-π/2
    2.53559889621119-1.57079632675     		φ = 0.96480257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96480257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.279115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1914 KachelY 1290 -0.20555343 0.96480257 -11.777344 55.279115
    Oben rechts KachelX + 1 1915 KachelY 1290 -0.20401944 0.96480257 -11.689453 55.279115
    Unten links KachelX 1914 KachelY + 1 1291 -0.20555343 0.96392830 -11.777344 55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 1915 KachelY + 1 1291 -0.20401944 0.96392830 -11.689453 55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96480257-0.96392830) × R
    0.000874270000000066 × 6371000     		dl = 5569.97417000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96480257-0.96392830) × R
    0.000874270000000066 × 6371000     		dr = 5569.97417000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20401944) × cos(0.96480257) × R
    0.00153399000000001 × 0.569579162331506 × 6371000     		do = 5566.52579760192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20401944) × cos(0.96392830) × R
    0.00153399000000001 × 0.570297538968353 × 6371000     		du = 5573.546528601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96480257)-sin(0.96392830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569579162331506-0.570297538968353)×R²
    abs(-0.20401944--0.20555343)×0.000718376636847928×R²
    0.00153399000000001×0.000718376636847928×6371000²
    0.00153399000000001×0.000718376636847928×40589641000000     		ar = 31024959.5306042m²