Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1914 / 1062
↖ ↑ ↗
← N 65.146115°
W 11.777344°		 ← 4 107.67 m → N 65.146115°
W 11.689453°		 →
↑
4 110.51 m
↓
↑
4 110.51 m
↓
N 65.109148°
W 11.777344°		 ← 4 113.39 m →
16 896 350 m²		 N 65.109148°
W 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4674072265625 y=0.2593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4674072265625 × 212)
    floor (0.4674072265625 × 4096)
    floor (1914.5)     		tx = 1914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2593994140625 × 212)
    floor (0.2593994140625 × 4096)
    floor (1062.5)     		ty = 1062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1914 / 1062 ti = "12/1914/1062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1914/1062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1914 ÷ 212
    1914 ÷ 4096     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1062 ÷ 212
    1062 ÷ 4096     		y = 0.25927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25927734375 × 2 - 1) × π
    0.4814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51250505681201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51250505681201))-π/2
    2×atan(4.53808472731284)-π/2
    2×1.35390526287454-π/2
    2.70781052574908-1.57079632675     		φ = 1.13701420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13701420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.146115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1914 KachelY 1062 -0.20555343 1.13701420 -11.777344 65.146115
    Oben rechts KachelX + 1 1915 KachelY 1062 -0.20401944 1.13701420 -11.689453 65.146115
    Unten links KachelX 1914 KachelY + 1 1063 -0.20555343 1.13636901 -11.777344 65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 1915 KachelY + 1 1063 -0.20401944 1.13636901 -11.689453 65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13701420-1.13636901) × R
    0.000645190000000184 × 6371000     		dl = 4110.50549000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13701420-1.13636901) × R
    0.000645190000000184 × 6371000     		dr = 4110.50549000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20401944) × cos(1.13701420) × R
    0.00153399000000001 × 0.420305636393538 × 6371000     		do = 4107.66812164454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20401944) × cos(1.13636901) × R
    0.00153399000000001 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 4113.38874394006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13701420)-sin(1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420305636393538-0.420890983048449)×R²
    abs(-0.20401944--0.20555343)×0.000585346654910612×R²
    0.00153399000000001×0.000585346654910612×6371000²
    0.00153399000000001×0.000585346654910612×40589641000000     		ar = 16896350.275922m²